DOMANDA di Kimberly
Un triangolo isoscele, avente l’area di $507\;\text{cm}^2$, ha l’altezza lunga $26\text{ cm}$. Calcolane il perimetro.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $A_{ABC} = 507 \text{ cm}^2$ – area del triangolo isoscele;
- $\overline{CH} = 26\;\text{cm}$ – altezza del triangolo isoscele.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il perimetro ($P_{ABC}$) del triangolo isoscele $ABC$.
La base del triangolo isoscele può essere calcolata utilizzando la formula inversa del calcolo dell’area. Ricordando che l’area di un triangolo è uguale a base per altezza diviso 2, possiamo scrivere che:
$A_{ABC} = \dfrac{\overline{AB}\cdot\overline{CH}}{2} \Rightarrow \overline{AB}\cdot\overline{CH} = 2\cdot A_{ABC} \Rightarrow \overline{AB} = \dfrac{2\cdot A_{ABC}}{\overline{CH}} $
$\overline{AB} = \dfrac{2\cdot 507 \text{ cm}^2}{26\;\text{cm}} = 39\;\text{cm}$.
In un triangolo isoscele l’altezza è anche mediana, quindi divide la base in due segmenti uguali:
$\overline{BH} = \overline{AH} = \dfrac{\overline{AB}}{2} = \dfrac{39\text{ cm}}{2} = 19,5 \text{ cm}$.
Il lato obliquo può essere calcolato applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo $BHC$:
$\overline{BC} = \sqrt{\overline{BH}^{2} + \overline{CH}^{2}} = \sqrt{\left(19,5^2 + 26^2\right)\;\text{cm}^2}= $
$ = \sqrt{\left(380,25 + 676 \right)\;\text{cm}^2} = \sqrt{1056,25\;\text{cm}^2} = 32,5\;\text{cm}$;
$\overline{AC} = \overline{BC} = 32,5\;\text{cm}$.
Adesso possiamo calcolare il perimetro del triangolo $ABC$:
$P_{ABC} = \overline{AB} + \overline{BC} +\overline{AC} = \left(39 + 32,5 + 32,5\right) \;\text{cm} = 104\;\text{cm}$;