DOMANDA di Vanessa
risolvere la seguente espressione algebrica: $\dfrac{3x}{x} – 2 + 3x + \dfrac{3}{x} = 13$;
RISPOSTA:
Per risolvere un’equazione fratta bisogna prima calcolare il minimo comune multiplo tra i denominatori. In questo caso al denominatore abbiamo soltanto $x$, quindi il minimo comune multiplo sarà proprio $x$. Poi si moltiplica ogni termine dell’equazione per il minimo comune multiplo ($x$), imponendo la condizione che il minimo comune multiplo sia diverso da zero e quindi che $x \neq 0$.
$\dfrac{3x}{x} – 2 + 3x + \dfrac{3}{x} = 13$;
moltiplico tutti i termini per x
$\dfrac{3x}{x}\cdot x – 2\cdot x + 3x\cdot x + \dfrac{3}{x}\cdot x = 13\cdot x$;
$3x – 2x + 3x^2 + 3 = 13x$;
$3x^2 + 3x -2x -13x +3 = 0$;
$3x^2 + -12x +3 = 0$;
abbiamo così ottenuto un equazione di secondo grado che può essere semplificata dividendo tutti i termini per 3:
$x^2 -4x + 1 = 0$;
Per risolvere tale equazione calcoliamo prima il $\Delta$, cioè:
$\Delta = 4^2 – 4 = 16-4 = 12$;
Il $\Delta$ è positivo quindi l’equazione ammette due soluzioni reali:
$x_1 = \dfrac{4-\sqrt{\Delta}}{2} = \dfrac{4-\sqrt{12}}{2} = \dfrac{4-\sqrt{4\cdot 3}}{2} = \dfrac{4- 2 \sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$;
$x_2 = \dfrac{4+\sqrt{\Delta}}{2} = \dfrac{4+\sqrt{12}}{2} = \dfrac{4+\sqrt{4\cdot 3}}{2} = \dfrac{4+2 \sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$;