DOMANDA di Laura
Calcolare perimetro e area di un trapezio isoscele che ha la base minore di $46\;\text{cm}$, lato obliquo di $32,5\;\text{cm}$ e altezza di $26\;\text{cm}$
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- base minore $\overline{DC} = \overline{KH} = 46\;\text{cm}$;
- lato obliquo $\overline{CB} = \overline{AD} = 32.5\;\text{cm}$;
- altezza $\overline{CH} = 26\;\text{cm}$.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il perimetro $P_{ABCD}$ e l’area $A_{ABC}$ del trapezio.
Per calcolare il perimetro dobbiamo conoscere i 4 lati del trapezio. Utilizzando il dato (2) e (3) del problema possiamo calcolare la proiezione $\overline{HB}$ applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo $HBC$:
$\overline{HB}=\sqrt{\overline{CB}^2-\overline{CH}^2}=\sqrt{(32,5\;\text{cm})^2-(26\;\text{cm})^2}=$
$=\sqrt{1056,25\;\text{cm}^2-676\;\text{cm}^2}=\sqrt{380,25\;\text{cm}^2}=19,5\;\text{cm}$.
Poichè il trapezio è isoscele, possiamo scrivere che:
$\overline{AK} = \overline{HB} = 19,5\;\text{cm}$.
Ne consegue che la base maggiore è uguale a:
$\overline{AB} = \overline{AK} + \overline{KH} + \overline{HB} = 19,5\;\text{cm} + 46\;\text{cm} + 19,5\;\text{cm} = 85\;\text{cm}$.
A questo punto possiamo calcolare il perimetro del trapezio:
$P_{ABCD} = \overline{AB} + \overline{CB} + \overline{DC} + \overline{AD}$;
$P_{ABCD} = 85\;\text{cm} + 32,5\;\text{cm} + 46\;\text{cm} + 32,5\;\text{cm} = 196\;\text{cm}$.
Possiamo calcolare anche l’area del trapezio nel seguente modo:
$A_{ABCD}=\dfrac{\left(\overline{AB}+\overline{DC}\right)\;\cdotp\;\overline{CH}}{2}=\dfrac{\left(85\;\text{cm}+46\;\text{cm}\right)\;\cdotp\;26\;\text{cm}}{2}=$
$=\dfrac{131\;\text{cm}\;\cdotp\;26\;\text{cm}}{2}=1703\;\text{cm}^2$