DOMANDA di Laura
Calcolare la base minore e perimetro di un trapezio isoscele che ha l’area di $3900\;\text{cm}^2$, altezza di $60\;\text{cm}$ e base maggiore di $90\;\text{cm}$.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- area trapezio $A_{ABCD} = 3900\;\text{cm}^2$;
- altezza $\overline{CH} = \overline{DK} = 60\;\text{cm}$;
- base maggiore $\overline{AB} = 90\;\text{cm}$.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare la base minore $\overline{CD}$ e il perimetro $P_{ABCD}$ del trapezio.
Per calcolare la base minore possiamo utilizzare la formula per il calcolo dell’area del trapezio:
$\dfrac{\left(\overline{AB} + \overline{CD}\right)\;\cdotp\overline{CH}}{2} = A_{ABCD}$
$\dfrac{\left(90\;\text{cm} + \overline{CD}\right)\;\cdotp60\;\text{cm}}{2} = 3900\;\text{cm}^2$;
moltiplicando entrambi i membri per 2 otteniamo:
$\left(90\;\text{cm}+ \overline{CD}\right)\;\cdotp60\;\text{cm} = 2\;\cdotp\;3900\;\text{cm}^2$;
$90\;\text{cm}+ \overline{CD} = \dfrac{7800\;\text{cm}^2}{60\;\text{cm}}$;
$90\;\text{cm}+ \overline{CD} = 130\;\text{cm}$;
$\overline{CD} = 130\;\text{cm} – 90\;\text{cm}$;
$\overline{CD} = 40\;\text{cm}$;
Abbiamo così calcolato la base minore $\overline{CD}$, per calcolare il perimetro bisogna calcolare i due lati obliqui $\overline{BC}$ e $\overline{AD}$, che sono uguali.
Cominciamo con il calcolare il segmento $\overline{BH}$:
$\overline{BH}=\overline{AK}=\dfrac{\overline{AB}-\overline{CD}}{2}=\dfrac{90\;\text{cm}-40\;\text{cm}}{2} = 25\;\text{cm}$;
Applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo $HBC$, possiamo calcolare il lato obliquo $\overline{BC}$:
$\overline{BC}=\overline{AD}=\sqrt{\overline{BH}^2+\overline{CH}^2}=\sqrt{(25\;\text{cm})^2+(60\;\text{cm})^2}=$;
$=\sqrt{625\;\text{cm}^2+3600\;\text{cm}^2}=\sqrt{4225\;\text{cm}^2}=65\;\text{cm}$.
A questo punto possiamo calcolare il perimetro del trapezio:
$P_{ABCD} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{AD}$;
$P_{ABCD} = 90\;\text{cm} + 65\;\text{cm} + 40\;\text{cm} + 65\;\text{cm} = 260\;\text{cm}$.