DOMANDA di Andrea
Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo i cui cateti misurano rispettivamente 30 cm e 72 cm. Calcola l’area della superficie laterale e totale del prisma sapendo che la sua altezza supera di 10 cm l’ipotenusa della base.
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RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $A\hat{C}B = D\hat{F}E=90^{\circ}$;
- cateto minore $\overline{AC} = 30\;\text{cm}$;
- cateto maggiore $\overline{BC} = 72\;\text{cm}$;
- altezza $\overline{AD} = \overline{AB} + 10\;\text{cm}$;
utilizzando questi dati dobbiamo calcolare l’area laterale ($A_{laterale}$) e totale ($A_{tot}$) del prisma.
Applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo $ABC$, possiamo calcolare l’ipotenusa $\overline{AB}$:
$\overline{AB} = \sqrt{\overline{AC}^{2}\;\text{+}\;\overline{BC}^{2}}$;
$\overline{AB} =\sqrt{\left(30^{2}\;\text{+}\;72^{2}\right)\;\text{cm}^2}$;
$\overline{AB} = \sqrt{\left(900\;\text{+} \;5184\right)\;\text{cm}^2} =\sqrt{6084\;\text{cm}^2} = 78 \;\text{cm}$;
$\overline{AB} = 78 \;\text{cm}$.
Avendo calcolato l’ipotenusa $\overline{AB}$, possiamo facilmente calcolare l’altezza $\overline{AD}$ del prisma utilizzando il dato (4):
$\overline{AD} = \overline{AB} + 10\;\text{cm} = \left(78 + 10\right)\;\text{cm} = 88\;\text{cm} $;
Calcolo il perimetro del triangolo $ABC$:
$P_{ABC} = \overline{AB} + \overline{BC} +\overline{AC} = \left(78 + 72 +30\right)\;\text{cm} = 180\;\text{cm}$.
Calcolo l’area del triangolo $ABC$:
$A_{ABC} = \dfrac{\overline{AC}\;\cdotp\;\overline{BC}}{2} = \dfrac{30\;\cdotp\;72}{2}\;\text{cm}^{2} = 1080\;\text{cm}^{2}$.
L’area del triangolo $DEF$ è uguale a quella del trinagolo $ABC$ perchè i due triangoli sono uguali per costruzione:
$A_{DEF} = A_{ABC} = 1080\;\text{cm}^{2}$.
Per calcolare l’area della superficie laterale bisogna moltiplicare il perimetro del triangolo $ABC$ per l’altezza del prisma:
$A_{laterale} = P_{ABC}\;\cdotp\;\overline{AD} = \left(180\;\cdotp\;88\right)\;\text{cm}^{2} = 15840\;\text{cm}^{2}$.
Adesso possiamo calcolare l’area totale del prisma che è uguale all’area laterale + l’area del triangolo $ABC$ + l’area del triangolo $DEF$:
$A_{tot} = A_{laterale} + A_{ABC} + A_{DEF}$;
$A_{tot} = \left(15840 + 1080 + 1080\right)\;\text{cm}^{2} = 18000\;\text{cm}^{2}$.
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