Problema – Prisma retto con base triangolo isoscele (Calcolo Area totale)

DOMANDA di Andrea

L’area della superficie laterale di un prisma retto è $375\;\text{cm}^{2}$ e l’altezza del prisma $7,5\;\text{cm}$. Sapendo che la base del prisma è un triangolo isoscele avente la base lunga $9\;\text{cm}$, calcola l’area della superficie totale del prisma.

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RISPOSTA:

Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:

1. Area laterale prisma $A_{laterale} = 375\;\text{cm}^{2}$;
2. altezza del prisma $\overline{AD}= 7,5\;\text{cm}$;
3. base del triangolo isoscele $\overline{AB} = 9\;\text{cm}$;
4. ABC è un triangolo isoscele $\Rightarrow \overline{AC} = \overline{BC}$;

utilizzando questi dati dobbiamo calcolare l’area della superficie totale ($A_{totale}$) del prisma.

Ricordiamo che l’area laterale del prisma si calcola moltiplicando il permietro della base ($P_{ABC}$) per l’altezza ($\overline{AD}$) del prisma:

$A_{laterale} = P_{ABC}\cdot\overline{AD}$.

Poichè l’area laterale e l’altezza li conosciamo, possiamo calcolare il perimetro della base utilizzando la formula inversa:

$P_{ABC} = \dfrac{A_{laterale}}{\overline{AD}} = \dfrac{375\;\text{cm}^{2}}{7,5\;\text{cm}} = 50\;\text{cm}$.

Il valore del perimetro ci serve per poter calcolare il lato obliquo del triangolo isoscele. Per semplicità poniamo tale lato uguale ad $x$:

$\overline{AC} = \overline{BC} = x;$

$P_{ABC} = \overline{AC} + \overline{BC} + \overline{AB}$;

$P_{ABC} = x + x + \overline{AB} = 2\cdot x + 9\;\text{cm} = 50\;\text{cm}$;

$2\cdot x + 9\;\text{cm} = 50\;\text{cm}$;

$2\cdot x = (50 -9)\;\text{cm}$;

$2\cdot x = 41\;\text{cm}$;

 $x = \dfrac{41}{2}\;\text{cm} = 20,5 \;\text{cm} $;

quindi

$\overline{AC} = \overline{BC} = x = 20,5 \;\text{cm}$;

Adesso conosciamo il valore del lato obliquo $AC$, possiamo quindi calcolare l’altezza e poi l’area della base del prisma.

Poiché la base è un triangolo isoscele, l’altezza $\overline{CH}$ divide il lato $\overline{AB}$ in due parti uguali, quindi:

$\overline{AH}=\overline{BH}=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{9\;\text{cm}}{2}=4,5\;\text{cm}$.

L’altezza $\overline{CH}$ del triangolo $ABC$ può essere calcolata applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo $ACH$:

$\overline{CH} = \sqrt{\overline{AC}^{2} – \overline{AH}^{2}} = \sqrt{\left(20,5^2 – 4,5^2\right)\;\text{cm}^2}= $

$ = \sqrt{\left(420,25 – 20,25\right)\;\text{cm}^2} = \sqrt{400\;\text{cm}^2} = 20\;\text{cm}$$;

$$\overline{CH} = 20\;\text{cm}$.

Adesso possiamo calcolare  l’area ($A_{ABC}$) del triangolo isoscele $ABC$:

$A_{ABC}=\dfrac{\overline{AB}\;\cdotp\;\overline{CH}}{2}=\dfrac{9\;\text{cm}\;\cdotp\;20\;\text{cm}}{2}=90\;\text{cm}^2$.