DOMANDA di Evren
In un triangolo rettangolo un angolo acuto è ampio 45° e il perimetro misura 34. Calcola la misura dei cateti sapendo che l’ipotenusa è lunga 14.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $P_{ABC} = 34$;
- $\overline{BC} = 14$;
- l’angolo $A\hat{B}C$ = 45°;
- l’angolo $C\hat{A}B$ = 90°;
utilizzando questi dati dobbiamo calcolare la misura dei due cateti $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$.
Iniziamo col calcolare l’ampiezza dell’angolo $A\hat{C}B$. Sapendo che la somma degli angoli interni ad un triangolo è 180°, si ha che:
$A\hat{C}B = 180^{\circ} {}- A\hat{B}C {}- C\hat{A}B = 180^{\circ} {}- 45^{\circ} {}- 90^{\circ} = 45^{\circ}$.
Segue che il triangolo è rettangolo in $C\hat{A}B$ e isoscele in quanto $A\hat{C}B = A\hat{B}C$. Questo vuol dire che il triangolo è un triangolo Rettangolo Isoscele.
Ne consegue che i due cateti sono uguali, quindi per poterli calcolare basta sottrarre al perimetro il valore dell’ipotenusa e dividere il risultato per 2:
$\overline{AB}= \overline{AC} = \dfrac{P_{ABC}- \overline{BC}}{2} = \dfrac{34-14}{2}=10$.
Possiamo concludere che i due cateti sono entrambi uguali a 10.