DOMANDA di Emma
La somma di un cateto e dell’ipotenusa è 12cm e la differenza è 3cm. Trova l’area e il perimetro.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $\overline{AB}+\overline{AC}=12\;\text{cm}$;
- $\overline{AB}-\overline{AC}=3\;\text{cm}$.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il perimetro del triangolo, $P_{ABC}$, l’area, $A_{ABC}$.
Per calcolare il perimetro è necessario determinare le lunghezze dei tre lati del triangolo. Utilizzando i dati (1) e (2) del problema possiamo calcolare sia l’ipotenusa $\overline{AB}$ che il cateto $\overline{AC}$. Precisamente, riscriviamo il dato (1)
$\overline{AB}+\overline{AC}=12\;\text{cm}$; (1)
nel modo seguente:
$\overline{AB}=12\;\text{cm}-\overline{AC}$ (1.2)
Se sostituiamo la (1.2) nel dato (2) del problema, possiamo calcolare il cateto $\overline{AC}$:
$\overline{AB}-\overline{AC}=3\;\text{cm}$ (2)
$12\;\text{cm}-\overline{AC}-\overline{AC}=3\;\text{cm}$
$12\;\text{cm}-2\cdot\overline{AC}=3\;\text{cm}$
$-2\cdot\overline{AC}=3\;\text{cm}-12\;\text{cm}$
$-2\cdot\overline{AC}=-9\;\text{cm}$
$2\cdot\overline{AC}=9\;\text{cm}$
$\overline{AC}=\dfrac{9}{2}\;\text{cm}=4.5\;\text{cm}$
Sostituendo il valore del cateto $\overline{AC}$ nella (1.2), otteniamo anche l’ipotenusa $\overline{AB}$:
$\overline{AB}=12\;\text{cm}-\overline{AC}=12\;\text{cm}-4.5\;\text{cm}=7.5\;\text{cm}$
Conosciamo ora le dimensioni di un cateto e dell’ipotenusa. Per calcolare la lunghezza dell’altro cateto basta applicare il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo $ABC$:
$\overline{BC}=\sqrt{\overline{AB}^2-\overline{AC}^2}=\sqrt{(7.5\;\text{cm})^2-(4.5\;\text{cm})^2}=$
$=\sqrt{56.25\;\text{cm}^2-20.25\;\text{cm}^2}=\sqrt{36\;\text{cm}^2}=6\;\text{cm}$.
A questo punto possiamo calcolare il perimetro del triangolo:
$P_{ABC}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}=(7.5+ 6 + 4.5)\;\text{cm}=18\;\text{cm}$.
L’area del triangolo rettangolo è pari al semi-prodotto tra i cateti, cioè:
$A_{ABC}=\dfrac{\overline{AC}\cdot\overline{BC}}{2}=\dfrac{4.5\;\text{cm}\cdot 6\;\text{cm}}{2}=13.5\;\text{cm}^{2}$.