DOMANDA di Claudio
Calcola il perimetro, l’area e la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che la somma e la differenza dell’ipotenusa e di un cateto misurano rispettivamente 14,4 cm e 3,6 cm.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $\overline{AB}+\overline{AC}=14.4\;\text{cm}$;
- $\overline{AB}-\overline{AC}=3.6\;\text{cm}$.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il perimetro del triangolo, $P_{ABC}$, l’area, $A_{ABC}$, e l’altezza relativa all’ipotenusa, ossia $\overline{CH}$.
Per calcolare il perimetro è necessario determinare le lunghezze dei tre lati del triangolo. Utilizzando i dati (1) e (2) del problema possiamo calcolare sia l’ipotenusa $\overline{AB}$ che il cateto $\overline{AC}$. Precisamente, riscriviamo il dato (1)
$\overline{AB}+\overline{AC}=14.4\;\text{cm}$; (1)
nel modo seguente:
$\overline{AB}=14.4\;\text{cm}-\overline{AC}$ (1.2)
Se sostituiamo la (1.2) nel dato (2) del problema, possiamo calcolare il cateto $\overline{AC}$:
$\overline{AB}-\overline{AC}=3.6\;\text{cm}$ (2)
$14.4\;\text{cm}-\overline{AC}-\overline{AC}=3.6\;\text{cm}$
$14.4\;\text{cm}-2\cdot\overline{AC}=3.6\;\text{cm}$
$-2\cdot\overline{AC}=3.6\;\text{cm}-14.4\;\text{cm}$
$-2\cdot\overline{AC}=-10.8\;\text{cm}$
$2\cdot\overline{AC}=10.8\;\text{cm}$
$\overline{AC}=\dfrac{10.8}{2}\;\text{cm}=5.4\;\text{cm}$
Sostituendo il valore del cateto $\overline{AC}$ nella (1.2), otteniamo anche l’ipotenusa $\overline{AB}$:
$\overline{AB}=14.4\;\text{cm}-\overline{AC}=14.4\;\text{cm}-5.4\;\text{cm}=9\;\text{cm}$
Conosciamo ora le dimensioni di un cateto e dell’ipotenusa. Per calcolare la lunghezza dell’altro cateto basta applicare il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo $ABC$:
$\overline{BC}=\sqrt{\overline{AB}^2-\overline{AC}^2}=\sqrt{(9\;\text{cm})^2-(5.4\;\text{cm})^2}=$
$=\sqrt{81\;\text{cm}^2-29.16\;\text{cm}^2}=\sqrt{51.84\;\text{cm}^2}=7.2\;\text{cm}$.
A questo punto possiamo calcolare il perimetro del triangolo:
$P_{ABC}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}=(9+ 7.2 + 5.4)\;\text{cm}=21.6\;\text{cm}$.
L’area del triangolo rettangolo è pari al semi-prodotto tra i cateti, cioè:
$A_{ABC}=\dfrac{\overline{AC}\cdot\overline{BC}}{2}=\dfrac{5.4\;\text{cm}\cdot 7.2\;\text{cm}}{2}=19.44\;\text{cm}^{2}$.
Conoscendo l’area possiamo calcolare anche l’altezza del triangolo relativa all’ipotenusa, ossia $\overline{CH}$, utilizzando le formule inverse. Precisamente, sappiamo che l’area del triangolo si può anche esprimere nel modo seguente:
$A_{ABC}=\dfrac{\overline{AB}\cdot\overline{CH}}{2}=19.44\;\text{cm}^{2}$.
pertanto:
$\overline{CH}=\dfrac{2\cdot A_{ABC}}{\overline{AB}}=\dfrac{2\cdot 19.44\;\text{cm}^{2}}{9\;\text{cm}}=4.32\;\text{cm}$.