DOMANDA di FEDERICO
In un triangolo isoscele la somma e la differenza delle misure della base e dell’altezza sono rispettivamente 120 metri e 24 metri. Calcola la misura dell’altezza ad uno dei lati obliqui e quella dei due segmenti in cui tale lato resta diviso dal piede dell’altezza stessa.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- la somma della base e dell’altezza $\overline{AB} \; \text{+} \; \overline{CH}$ = $120 \; \text{m}$;
- la differenza della base e dell’altezza $\overline{AB} \; \text{-} \; \overline{CH}$ = $24 \; \text{m}$;
- $\overline{CA} = \overline{CB}$ perchè il triangolo $ABC$ è isoscele;
- $A\hat{K}B = A\hat{K}C$ = 90° perchè $\overline{AK}$ è l’altezza relativa al lato obliquo $\overline{BC}.$
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il valore dell’altezza $\overline{AK}$ e dei due segmenti $\overline{CK}$ e $\overline{BK}$. Iniziamo col calcolare i valori della base $\overline{AB}$ e dell’altezza $\overline{CH}$ utilizando i primi due dati che ci fornisce il problema.
Utilizzando il dato 2) $\overline{AB} \; \text{-} \; \overline{CH} = 24 \; \text{m}$, possiamo scrivere $\overline{AB}$ in funzione di $\overline{CH}$:
$\overline{AB} \; \text{-} \; \overline{CH} = 24 \; \text{m}$;
$ \overline{AB} = \overline{CH} \; \text{+} \; 24 \; \text{m}$.
A questo punto utilizziamo il dato 1) $\overline{AB} \; \text{+} \; \overline{CH} = 120 \; \text{m}$, sostituendo $\overline{AB}$ con $\overline{CH} \; \text{+} \; 24 \; \text{m}$. Con questa sostituzione si ottiene un’equazione di primo grado che ci permette di calcolare il valore di $\overline{CH}$:
$\overline{AB} \; \text{+} \; \overline{CH} = 120 \; \text{m}$;
$ \overline{CH} \; \text{+} \; 24 \; \text{m} + \overline{CH} = 120 \; \text{m}$;
$2 \; \cdotp \overline{CH} = 96 \; \text{m} $;
$ \overline{CH} = \dfrac{96 \; \text{m}}{2} = 48 \; \text{m}$.
Avendo calcolato il valore di $\overline{CH}$, possiamo calcolare il valore di $\overline{AB}$ utilizzando di nuovo il dato 2) $\overline{AB} \; \text{-} \; \overline{CH}$ = $24 \; \text{m}$:
$\overline{AB} \; \text{-} \; \overline{CH} = 24 \; \text{m}$;
$\overline{AB} = 24 \; \text{m} \; \text{+} \; \overline{CH} = \left(24 + 48 \right) \text{m} = 72 \; \text{m}$
Poiché il triangolo $ABC$ è isoscele, l’altezza $\overline{CH}$ divide la base $\overline{AB}$ in due parti uguali, quindi:
$\overline{AH} = \overline{HB} = \dfrac{\overline{AB}}{2} = \dfrac{72 \; \text{m}}{2} = 36 \; \text{m}$
Adesso conosciamo sia il valore di $\overline{CH}$ che di $\overline{HB}$, quindi possiamo calcolare il valore di $\overline{BC}$ applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo $CHB$:
$ \overline{BC} = \sqrt{\overline{CH}^2 \; \text{+} \; \overline{HB}^2} = $
$ = \sqrt{\left(48^2 + 36^2\right)\; \text{m}^2} = \sqrt{3600 \; \text{m}^2} = 60 \; \text{m}$
Dopo aver calcolato $\overline{BC}$ possiamo procedere al calcolo dell’altezza $\overline{AK}$ nel seguente modo. Iniziamo col calcolare l’area del triangolo isoscele utilizzando la base $\overline{AB}$ e l’altezza $\overline{CH}$:
$A_{ABC} = \dfrac{\overline{AB} \; \cdotp \; \overline{CH}}{2} = $
$=\dfrac{72 \; \text{m} \; \cdotp \; 48 \text{m}}{2} = 1728 \text{m}^2$
Sapendo il valore dell’area possiamo calcolare il valore dell’altezza $\overline{AK}$ utilizzando la formula inversa:
$A_{ABC} = \dfrac{\overline{BC} \; \cdotp \; \overline{AK}}{2}$;
$ \overline{AK} = \dfrac{2 \; \cdotp \; A_{ABC}}{\overline{BC}} = \dfrac{2 \; \cdotp \; 1728 \; \text{m}^2}{60 \; \text{m}} = 57,6 \; \text{m}$
Poichè il triangolo $ABK$ è rettangolo, possiamo calcolare il valore di $\overline{BK}$ applicando il teorema di Pitagora :
$\overline{BK} = \sqrt{\overline{AB}^2 \; \text{-} \; \overline{AK}^2} = $
$=\sqrt{\left(72^{2} \; \text{-} \; 57,6^{2}\right) \; \text{m}^2} = \sqrt{1866,24 \; \text{m}^2} = 43,2 \; \text{m}$
Dopo aver calcolato $\overline{BK}$ possiamo calcolare facilmente anche $\overline{CK}$, dato che:
$\overline{CK} = \overline{BC} \; \text{-} \; \overline{BK} = \left(60 \; \text{-} \; 43,2\right)\; \text{m} = 16,8 \; \text{m}$
In questo modo abbiamo calcolato i tre valori richiesti dal problema, $\overline{AK} = 57,6 \; \text{m}$, $\overline{CK} = 16,8 \; \text{m}$ e $\overline{BK} = 43,2 \; \text{m}$.