DOMANDA di FEDERICO
In un trapezio rettangolo la diagonale minore, che misura 33dm, è perpendicolare al lato obliquo. Sapendo che la base maggiore è lunga 55 dm, calcola il perimetro e l’area del trapezio.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- la diagonale minore $\overline{AC}$ = 33dm,
- la base maggiore $\overline{AB}$ = 55 dm,
- l’angolo $A\hat{C}B$ = 90°;
utilizzando questi tre dati che ci fornisce il problema dobbiamo calcolare l’area del trapezio ($A_{ABCD}$) ed il suo perimetro ($P_{ABCD}$).
Poiché $A\hat{C}B$ = 90° possiamo applicare il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo $ABC$, la cui ipotenusa è la base maggiore $\overline{AB}$, quindi:
$\overline{BC}$ = $\sqrt{\overline{AB}^{2} \; \text{-} \; \overline{AC}^{2}}$ =
$= \sqrt{55^2\;\text{-} \; 33^2}$ = $ \sqrt{3025\;\text{-} \; 1089}$ =
$=\sqrt{1936}$ = $44 \; \text{dm}$
Dopo aver calcolato il lato $\overline{BC}$ dobbiamo cercare di calcolare l’altezza $ \overline{DA} = \overline{CH}$ del trapezio. Possiamo calcolare il segmento $\overline{AH}$ utilizzando il primo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa). Nel nostro caso il cateto considerato è $\overline{AC}$, mentre la sua proiezione sull’ipotenusa è $\overline{AH}$, quindi possiamo scrivere che:
$ \overline{AH} : \overline{AC} = \overline{AC} : \overline{AB}$;
$\overline{AH} = \dfrac{\overline{AC}^{2}}{\overline{AB}}$ =
$ = \dfrac{\left(33 \text{dm}\right)^{2}}{55 \text{dm}}$ = $19,8 \; \text{dm}$ .
Di conseguenza:
$\overline{DC} = \overline{AH} = 19,8 \; \text{dm}.$
Adesso sappiamo quanto vale $\overline{AH}$, quindi possiamo calcolare anche il valore di $\overline{HB}$, poiché:
$\overline{HB} = \overline{AB} \; \text{-} \; \overline{AH}$ =
$ = \left(55 \; \text{-} \; 19,8 \right) \; \text{dm}$ = $35,2 \; \text{dm}$
Sapendo il valore di $\overline{AH}$ ed $\overline{HB}$ possiamo calcolare il valore dell’altezza $\overline{CH}$ utilizzando il secondo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa). Nel nostro caso l’altezza relativa all’ipotenusa è $\overline{CH}$, mentre le proiezioni dei due cateti sono $\overline{AH}$ ed $\overline{HB}$, quindi possiamo scrivere:
$ \overline{AH} : \overline{CH} = \overline{CH} : \overline{HB}$;
$\overline{CH}^{2} = \overline{AH} \cdotp \overline{HB}$ = $ (19,8 \cdotp 35,2) \; \text{dm}$;
$ \overline{CH} = \sqrt{696,96}$ = $26,4 \; \text{dm}$.
Di conseguenza:
$\overline{DA} = \overline{CH} = 26,4 \; \text{dm}$
Adesso abbiamo tutti i dati necessari per calcolare il perimetro e l’area del trapezio $ABCD$:
$P_{ABCD} = \overline{AB} \; \text{+} \; \overline{BC}\; \text{+} \; \overline{DC}\; \text{+} \; \overline{DA} \; =$
$ = \left(55 \; \text{+} \; 44\; \text{+} \; 19,8 \; \text{+} \; 26,4 \right) \; \text{dm} = 145,2\text{dm}$
$A_{ABCD} = \dfrac{\left( \overline{AB} \; \text{+} \; \overline{DC} \right) \cdotp \overline{CH}}{2} = $
$ = \dfrac{\left(55 \; \text{+} \; 19,8 \right) \text{dm} \; \cdotp 26,4 \; \text{dm}}{2} = 987,36 \; \text{dm}^{2}$
Il perimetro ($P_{ABCD}$) è la somma dei 4 lati del trapezio, mentre l’area ($A_{ABCD}$) è il prodotto della somma di base maggiore e base minore per l’altezza, diviso 2.