DOMANDA di Francesco
Un trapezio, equivalente a un rettangolo avente il perimetro di 104 cm e l’altezza 1/3 della base, ha le basi lunghe 34 cm e 50,5 cm. Calcola l’area di un quadrato avente il lato congruente all’altezza del trapezio.
RISPOSTA:
Scriviamo i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figure riportate di seguito:
- perimetro rettangolo $P_{ABCD} = 2\cdot\overline{AB} + 2\cdot\overline{AD} = 104\;\text{cm}$;
- altezza rettangolo $\overline{AD} = \dfrac{1}{3}\overline{AB}$;
- base maggiore trapezio $\overline{EF} = 50.5\;\text{cm}$;
- base minore trapezio $\overline{HG} = 34\;\text{cm}$;
- altezza del trapezio congruente con il lato del quadrato $\overline{GI} = \overline{LM}$;
- trapezio e rettangolo equivalenti quindi le aree sono uguali $A_{ABCD} = A_{EFGH}$.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare l’area del quadrato $LMNO$ con il lato congruente all’altezza del trapezio. Cominciamo con il calcolare l’altezza e la base del rettangolo $ABCD$. Sostituendo il dato (2) nel dato (1) del problema si ha:
$P_{ABCD} = 2\cdot\overline{AB} + 2\cdot\overline{AD} = 104\;\text{cm}$
$2\cdot\overline{AB} + 2\cdot\dfrac{1}{3}\overline{AB} = 104\;\text{cm}$
$\dfrac{6\cdot\overline{AB} + 2\cdot\overline{AB}}{3} = 104\;\text{cm}$
$\dfrac{8\cdot\overline{AB}}{3} = 104\;\text{cm}$
$\overline{AB} = \dfrac{3}{8}104\;\text{cm}$
$\overline{AB} = 39\;\text{cm}$
Utilizzando il dato (2), otteniamo anche $\overline{AD}$:
$\overline{AD} = \dfrac{1}{3}\overline{AB} = \dfrac{1}{3}39\;\text{cm} = 13\;\text{cm}$
Segue che l’area del rettangolo $A_{ABCD}$ è:
$A_{ABCD} = \overline{AB}\cdot\overline{AD} = (13\cdot 39)\;\text{cm}^{2} = 507\;\text{cm}^{2}$
Siccome il rettangolo ed il trapezio sono equivalenti hanno le stesse aree, ossia l’area del trapezio è:
$A_{EFGH} = A_{ABCD} = 507\;\text{cm}^{2}$
Nota l’area del trapezio, la base maggiore e la base minore, possiamo calcolare l’altezza del trapezio con le formule inverse, ossia:
$A_{EFGH} = \dfrac{\left(\overline{EF}\;\text{+}\;\overline{HG}\right)\;\cdot\;\overline{GI}}{2} \Rightarrow \overline{GI}=\dfrac{2\;\cdotp\;A_{EFGH}}{\left(\overline{EF}\;\text{+}\;\overline{HG}\right)}$;
$\overline{GI}=\dfrac{2\;\cdotp\;507\;\text{cm}^{2}}{\left(50.5\;\text{cm}\;\text{+}\;34\;\text{cm}\right)} = 12\;\text{cm}$;
$\overline{GI} = 12\;\text{cm}$.
Essendo il lato del quadrato congruente con l’altezza del trapezio si ha:
$\overline{LM} = \overline{GI} = 12\;\text{cm}$
Segue che l’area del quadrato è:
$A_{LMNO} = \overline{LM}\cdot\overline{OL} = 12\;\text{cm}\cdot 12\;\text{cm} = 144\;\text{cm}^{2}$