DOMANDA di mimax
Da un punto P traccia le tangenti PA ePB ad una circonferenza di centro O e raggio 120dm. La corda che unisce i punti di tangenza e’ 3/2 della sua distanza dal punto P e la somma di questi due segmenti misura 320dm. Calcola la lunghezza della circonferenza, il perimetro e l’area del quadrilatero OAPB.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura di seguito riportata.
- $\overline{OA}=\overline{OB}= 120\;\text{dm}$;
- $\overline{AB} = \dfrac{3}{2}\overline{PH}$;
- $\overline{AB}\;\text{+}\;\overline{PH} = 320\;\text{dm}$
Cominciamo col calcolare la lunghezza della circonferenza:
$circonferenza = 2\;\cdotp\;\pi\;\cdotp\;\overline{OA} = 2\;\cdot\;3,14\;\cdot\;120\;\text{dm}=753.6\;\text{dm}$.
Per calcolare il perimetro e l’area del quadrilatero $OAPB$ osserviamo che, per il teorema delle tangenti (i segmenti di tangente, condotti da un punto esterno a una circonferenza e compresi tra tale punto e quelli di contatto, sono congruenti. La semiretta che congiunge il punto da cui escono le tangenti con il centro della circonferenza è bisettrice sia dell’angolo delle tangenti, sia dell’angolo formato dai raggi che vanno ai punti di contatto ed è inoltre asse del segmento che unisce i detti punti di contatto).
Calcoliamo ora la lunghezza della corda $AB$ e del segmento $PH$, sfruttando i dati del problema. Infatti, sostituendo la 2) nella 3) otteniamo:
$\overline{AB}\;\text{+}\;\overline{PH} = 320\;\text{dm}$;
$\dfrac{3}{2}\;\overline{PH}\;\text{+}\;\overline{PH}=320\;\text{dm}$;
$\dfrac{5}{2}\;\overline{PH} = 320\;\text{dm}$;
$\overline{PH} = \dfrac{2}{5}\;\cdot\; 320\;\text{dm} = 128\;\text{dm}$.
La corda $AB$ sarà quindi lunga:
$\overline{AB} = \dfrac{3}{2}\overline{PH}=\dfrac{3}{2}\;\cdot\; 128\;\text{dm} = 192\;\text{dm}$.
Risulta quindi:
$\overline{AH}=\overline{HB}=\dfrac{\overline{AB}}{2}=\dfrac{192\;\text{dm}}{2}=96 \;\text{dm}$.
Applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo $APH$ possiamo calcolare l’ipotenusa $\overline{AP}$:
$\overline{AP}=\overline{BP}=\sqrt{\overline{PH}^2\;\text{+}\;\overline{AH}^2}= \sqrt{(128\;\text{dm})^2\;\text{+}\;(96\;\text{dm})^2}=160\;\text{dm}$.
A questo punto possiamo calcolare il perimetro del quadrilatero $OAPB$:
$P_{OAPB}=2\;\cdot\;\overline{AP}\;\text{+}\;2\;\cdot\;\overline{OA}= 2\;\cdot\;160\;\text{dm}\;\text{+}\;2\;\cdot\;120\;\text{dm}=560\;\text{dm}$.
Per calcolare l’area del quadrilatero $OAPB$ bisogna tener presente che gli angoli $O\hat{A}P$ e $O\hat{B}P$ sono retti per costruzione. Quindi, il quadrilatero $OAPB$ è formato da due triangoli rettangoli uguali che sono $OAP$ e $OBP$. Pertanto, l’area del quadrilatero è uguale alla somma delle aree di questi due triangoli rettangoli:
$A_{OAPB}=2\;\cdot\;A_{OAP}=2\;\cdot\;\dfrac{\overline{AP}\;\cdot\;\overline{OA}}{2}= 160\;\text{dm}\;\cdot\;120\;\text{dm}=19200\;\text{dm}^2$.