DOMANDA di Loredana
In un trapezio rettangolo la diagonale minore è perpendicolare al lato obliquo. Inoltre, la diagonale minore è 5/3 della base minore e la loro somma misura 105,6 cm. Determina: la lunghezza della base maggiore, l’area del trapezio, la lunghezza del perimetro.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $\overline{AC} = \dfrac{5}{3}\overline{CD}$;
- $\overline{AC} + \overline{CD} = 105,6\;\text{cm}$;
- l’angolo $A\hat{C}B$ = 90°;
utilizzando questi tre dati dobbiamo calcolare la lunghezza della base maggiore $\overline{AB}$, l’area del trapezio ($A_{ABCD}$) ed il suo perimetro ($P_{ABCD}$).
Iniziamo col calcolare i valori di $\overline{AC}$ e $\overline{CD}$ ponendo:
$\overline{AC} = x$; $\overline{CD} = y$.
Utilizzando i dati (1) e (2) possiamo scrivere un sistema di due equazioni nelle due incognite $x$ ed $y$:
$\overline{AC} = \dfrac{5}{3}\overline{CD} \Rightarrow x= \dfrac{5}{3}y$; (1)
$\overline{AC} + \overline{CD} = 105,6\;\text{cm} \Rightarrow x+ y = 105,6\;\text{cm}$; (2)
Dalla prima equazione sappiamo che $x = \dfrac{5}{3} y$, quindi nella seconda equazione possiamo sostituire $x$ con $\dfrac{5}{3} y$:
$x+ y = 105,6\;\text{cm} \Rightarrow \dfrac{5}{3}y+y = 105,6\;\text{cm} \Rightarrow\dfrac{8}{3} y =105,6\;\text{cm}$;
$y = \dfrac{105,6\;\cdotp\;3}{8}\;\text{cm} = 39,6\;\text{cm}$
Sostituendo nella prima equazione il valore di $y$ che abbiamo calcolato otteniamo il valore di $x$:
$x = \dfrac{5}{3}y \Rightarrow x = \dfrac{5}{3}39,6\;\text{cm} = \dfrac{198}{3}\;\text{cm} = 66\;\text{cm}$.
Avendo calcolato i valori di $x$ ed $y$ possiamo scrivere che:
$\overline{AC} = x = 66\;\text{cm}$;
$\overline{CD} =y = 39,6\;\text{cm}$;
L’altezza $\overline{AD}$ può essere calcolata applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo $ACD$:
$\overline{AD}$ = $\sqrt{\overline{AC}^{2} \; \text{-} \; \overline{CD}^{2}}$ = $\sqrt{\left(66^2\;\text{-} \; 39,6^2\right)\;\text{cm}^2}$ = $ \sqrt{\left(4356\;\text{-}\;1568,16\right)\;\text{cm}^2}$ = $52,8\;\text{cm}$
Per costruzione sappiamo che:
$\overline{AH} = \overline{CD} = 39,6\;\text{cm}$.
Per calcolare la base maggiore $\overline{AB}$ applico il primo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa) al triangolo rettangolo $ABC$. Nel nostro caso il cateto considerato è $\overline{AC}$, mentre la sua proiezione sull’ipotenusa è $\overline{AH}$, quindi possiamo scrivere che:
$ \overline{AB} : \overline{AC} = \overline{AC} : \overline{AH}$ $\Rightarrow$ $\overline{AB} =\dfrac{\overline{AC}^{2}}{\overline{AH}}$ = $\dfrac{\left(66\; \text{cm}\right)^{2}}{39,6\;\text{cm}}$ = $\dfrac{4356\;\text{cm}^2}{39,6\;\text{cm}}$ = $110\;\text{cm}$ .
Per calcolare il lato obliquo $\overline{BC}$ applico il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo $ABC$:
$\overline{BC}$ = $\sqrt{\overline{AB}^{2} \; \text{-} \; \overline{AC}^{2}}$ = $\sqrt{\left(110^2\;\text{-}\;66^2\right)\;\text{cm}^2}$ = $ \sqrt{\left(12100\;\text{-}\;4356\right)\;\text{cm}^2}$ = $88\;\text{cm}$
Adesso abbiamo tutti i dati necessari per calcolare il perimetro e l’area del trapezio $ABCD$:
$P_{ABCD}=\overline{AB}\;\text{+}\;\overline{BC}\;\text{+}\;\overline{CD}\;\text{+} \;\overline{AD}=\left(110\;\text{+}\;88\;\text{+}\;39,6\;\text{+}\;52,8\right)\;\text{cm}=290,4\;\text{cm}$.
$A_{ABCD} = \dfrac{\left( \overline{AB} \; \text{+} \; \overline{CD} \right) \cdotp \overline{AD}}{2} = \dfrac{\left(110\;\text{+}\;39,6\right)\text{cm}\;\cdotp 52,8\;\text{cm}}{2} =3949,44\;\text{cm}^{2} $