DOMANDA di Flavio
Vorrei sapere come si calcola il perimetro di un trapezio rettangolo che ha il lato obliquo di 4 m, l’angolo acuto di 30° e la base minore è uguale al lato obliquo.
RISPOSTA:
Scriviamo i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $C\hat{B}H = 30^{\circ}$;
- lato obliquo $\overline{BC} = 4\;\text{m}$;
- base minore $\overline{CD} = \overline{BC} = 4\;\text{m}$.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il perimetro $P_{ABCD}$ del trapezio rettangolo.
Consideriamo il triangolo $CHB$. La somma degli angoli interni di un triangolo è $180^{\circ}$, quindi possiamo calcolare l’anglo $H\hat{C}B$ nel seguente modo:
$H\hat{C}B = 180^{\circ} \;\text{-} \;C\hat{H}B \;\text{-} \;C\hat{B}H = 180^{\circ}\; \text{-}\; 90^{\circ}\; \text{-}\; 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
Poiché $H\hat{C}B$ è risultato essere uguale a 60°, il triangolo $CHB$ rientra nella categoria dei triangoli notevoli con angoli acuti di 30° e 60°, per i quali il cateto $\overline{CH}$ opposto all’angolo acuto di 30° sarà la metà dell’ipotenusa $\overline{BC}$, per cui:
$\overline{CH}= \dfrac{\overline{BC}}{2} = \dfrac{4\;\text{m}}{2} =2\;\text{m}$.
e quindi:
$\overline{AD} = \overline{CH} = 2\;\text{m}$.
Inoltre, sempre perchè il triangolo $CHB$ rientra nella categoria dei triangoli notevoli con angoli acuti di 30° e 60°, il cateto $\overline{HB}$ opposto all’angolo di 60°, è:
$\overline{HB} = \dfrac{\sqrt{3}\cdot\overline{BC}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}\cdot 4\;\text{m}}{2} = 3,464\;\text{cm}$.
Per costruzione sappiamo che:
$\overline{AH} = \overline{CD} = 4\;\text{m}$.
Segue che la base maggiore $\overline{AB}$ può essere calcolata nel seguente modo:
$\overline{AB} = \overline{AH} \; \text{+} \; \overline{HB} = (4\;\text{+}\;3,464)\;\text{m} = 7,464\;\text{m}$.
A questo punto possiamo calcolare il perimetro del trapezio:
$P_{ABCD} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{AD} = (7,464 + 4 + 4 + 2)\;\text{m} = 17,464\;\text{m}$.