DOMANDA di Alessia
In una circonferenza è inscritto un trapezio isoscele di altezza 63 cm. Sapendo che il centro della circonferenza divide l’altezza in due parti che sono una i 3/4 dell’altra e che il raggio è di 45 cm, trova l’area del trapezio.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- altezza $\overline{MN} = \overline{CH} = 63\;\text{cm}$;
- $\overline{MN} = \overline{MO} + \overline{ON}$;
- $\overline{ON} = \dfrac{3}{4}\overline{MO}$;
- raggio della circonferenza $\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} = \overline{OD} = 45\;\text{cm}$.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare l’area ($A_{ABCD}$) del trapezio isoscele.
Iniziamo con il calcolare i due segmenti $\overline{MO}$ e $\overline{ON}$, utilizzando i dati (2) e (3) del problema. Sappiamo che:
$\overline{MN} = \overline{MO} + \overline{ON}$ (2)
e che:
$\overline{ON} = \dfrac{3}{4}\overline{MO}$ (3)
Sostituendo la (3) in (2), otteniamo un’equazione in un’incognita $\overline{MO}$, essendo il valore di $\overline{MN}$ noto grazie al dato (1) del problema:
$\overline{MN} = \overline{MO} + \dfrac{3}{4}\overline{MO}$;
$\overline{MN} = 63\;\text{cm} = \overline{MO} + \dfrac{3}{4}\overline{MO}$;
$\overline{MO} + \dfrac{3}{4}\overline{MO}= 63\;\text{cm}$;
$\dfrac{4\overline{MO} + 3\overline{MO}}{4}= 63\;\text{cm}$;
$\dfrac{7}{4}\overline{MO} = 63\;\text{cm}$;
$7\cdotp\overline{MO} = 252\;\text{cm}$;
$\overline{MO} = 36\;\text{cm}$.
Sostituendo il valore di $\overline{MO}$ nella (3), otteniamo anche $\overline{ON}$:
$\overline{ON} = \dfrac{3}{4}\overline{MO} = \dfrac{3}{4}36\;\text{cm} = 27\;\text{cm} $.
Per calcolare la base minore e quella maggiore del trapezio procediamo nel modo seguente. Consideriamo dapprima il triangolo OMC, rettangolo per costruzione, ed applichiamo ad esso il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) per calcolare il segmanto $\overline{MC}$:
$\overline{MC} = \sqrt{\overline{OC}^{2} \; \text{-} \; \overline{MO}^{2}}$;
$\overline{MC} =\sqrt{\left(45^{2} \; \text{-} \; 36^{2}\right)\;\text{cm}^2}$;
$\overline{MC} = \sqrt{\left(2025 \;\text{-} \; 1296\right)\;\text{cm}^2} =\sqrt{729\;\text{cm}^2} = 27 \;\text{cm}$;
$\overline{MC} = 27 \;\text{cm}$;
Per costruzione:
$\overline{MC} = \overline{DM} = 27 \;\text{cm}$,
segue che la base minore è:
$\overline{DC} = 2\overline{MC} = 54 \;\text{cm}$.
Poi per calcolare la base maggiore, applichiamo il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo ONB, rettangolo per costruzione, per calcolare il segmanto $\overline{NB}$:
$\overline{NB} = \sqrt{\overline{OB}^{2} \; \text{-} \; \overline{ON}^{2}}$;
$\overline{NB} =\sqrt{\left(45^{2} \; \text{-} \; 27^{2}\right)\;\text{cm}^2}$;
$\overline{NB} = \sqrt{\left(2025 \;\text{-} \; 729\right)\;\text{cm}^2} =\sqrt{1296\;\text{cm}^2} = 36\;\text{cm}$;
$\overline{NB} = 36\;\text{cm}$;
Per costruzione:
$\overline{AN} = \overline{NB} = 36\;\text{cm}$,
segue che:
$\overline{AB} = 2\overline{NB} = 72\;\text{cm}$.
A questo punto è possibile calcolare l’area del trapezio nel seguente modo:
$ A_{ABCD} = \dfrac{\left(\overline{AB} + \overline{DC}\right)\cdotp\overline{CH}}{2} = \dfrac{\left(72 + 54\right)\;\text{cm}\;\cdotp\;63\;\text{cm}}{2} =$
$=\dfrac{126\;\text{cm}\;\cdotp\;63\;\text{cm}}{2}=3969\;\text{cm}^{2}$