DOMANDA di Max
In una circonferenza è inscritto un rettangolo i cui lati sono direttamente proporzionali ai numeri 3 e 4 e la loro somma è 13,44 dm. Calcola le misure dei lati del rettangolo e l’area della superficie non comune alle due figure.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}} = \dfrac{3}{4}$;
- $\overline{AB}+\overline{BC} = 13,44\;\text{dm}$;
utilizzando questi dati dobbiamo calcolare i lati del rettangolo e l’area della superficie non comune alle due figure.
Iniziamo con il calcolare i lati del rettangolo. Utilizzando il dato (1) possiamo scrivere che:
$\overline{AB} = 4x$; $\overline{BC} = 3x$;
dove $x$ è una quantità che dobbiamo calcolare. Per calcolare $x$ possiamo utilizzare il dato (2) e scrivere:
$\overline{AB}+\overline{BC} = 4x + 3x = 7x = 13,44\;\text{dm}$;
$7x = 13,44\;\text{dm}$;
$x = \dfrac{13,44\;\text{dm}}{7} = 1,92\;\text{dm}$;
Adesso sappiamo quanto vale $x$, quindi possiamo calcolare i lati del rettangolo:
$\overline{AB} =\overline{DC} = 4x = 4\;\cdotp\;1,92\;\text{dm} = 7,68\;\text{dm}$;
$\overline{BC} =\overline{AD} = 3x = 3\;\cdotp\;1,92\;\text{dm} = 5,76\;\text{dm}$.
I due lati del rettangolo $\overline{AB}$ e $\overline{DC}$ sono due corde aventi la stessa lunghezza, quindi la loro distanza dal centro deve essere uguale. Ne consegue che:
$\overline{OH} =\overline{OK} =\dfrac{\overline{BC}}{2} = \dfrac{5,76\;\text{dm}}{2} = 2,88\;\text{dm}$.
Il segmento $\overline{OH}$, che è la distanza tra il centro $O$ e la corda $\overline{AB}$, interseca $\overline{AB}$ nel suo punto medio, quindi si ha che:
$\overline{AH}=\overline{BH}=\dfrac{\overline{AB}}{2}=\dfrac{7,68\;\text{dm}}{2}=3,84\;\text{dm}$.
Applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo $BHO$ possiamo calcolare l’ipotenusa $\overline{OB}$:
$\overline{OB} = \sqrt{\overline{OH}^{2}\;\text{+}\;\overline{BH}^{2}}$;
$\overline{OB} =\sqrt{\left(2,88^{2}\;\text{+}\;3,84^{2}\right)\;\text{dm}^2}$;
$\overline{OB} = \sqrt{\left(8,2944\;\text{+} \;14,7456\right)\;\text{dm}^2} =\sqrt{23,04\;\text{dm}^2} = 4,8\;\text{dm}$;
$\overline{OB} = 4,8\;\text{dm}$.
Conoscendo il raggio $\overline{OB}$ possiamo calcolare l’area del cerchio:
$A_{cerchio} = \pi\;\cdotp\;\overline{OB}^{2} = 3,14\;\cdotp\;4,8^{2}\;\text{dm}^{2}= 72,3456\;\text{dm}^{2}$.
L’area del rettangolo si calcola moltiplicando i due lati $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$:
$A_{rettangolo} = \overline{AB}\;\cdotp\;\overline{BC} = \left(7,68\;\cdotp\;5,76\right)\;\text{dm}^{2}=44,2368\;\text{dm}^{2}$.
L’area della superficie non comune alle due figure può essere calcolata come la differenza tra l’area del cerchio e l’area del rettangolo:
$A_{non\_comune} =A_{cerchio} -A_{rettangolo} = \left(72,3456 – 44,2368\right)\;\text{dm}^{2} = 28,1088\;\text{dm}^{2}$.