DOMANDA di Carmen
Un prisma retto ha per base un rettangolo avente l’area di 120 cm quadrati e una dimensione lunga 10 cm. Calcolare l’area della superficie laterale e totale sapendo che l’altezza misura 38 cm.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- area del rettangolo $ABCD$ $A_{ABCD} = 120\;\text{cm}^{2}$;
- lato rettangolo $\overline{BC}=10\;\text{cm}$;
- altezza del prisma $\overline{AE}=\overline{BF}=\overline{CG}=\overline{DH}=38\;\text{cm} $;
utilizzando questi dati dobbiamo calcolare l’area della superficie laterale ($A_{laterale}$) e l’area della superficie totale ($A_{totale}$) del prisma.
Ricordiamo che l‘area della superficie laterale del prisma retto si ottiene moltiplicando la lunghezza del perimetro di base per quella dell’altezza. L’altezza la conosciamo, mentre il perimetro di base possiamo calcolarlo utilizzando il dato (1) del problema:
Il lato del rettangolo lo si può calcolare utilizzando le formule inverse per il rettangolo:
$\overline{AB} = \dfrac{A_{ABCD}}{\overline{BC}} = \dfrac{120\;\text{cm}^{2}}{10\;\text{cm}} = 12\;\text{cm}$
segue che il perimetro della base del prisma, corrispondente al perimetro del rettangolo $ABCD$, è:
$P_{ABCD} = 2\cdot\overline{AB} + 2\cdot\overline{BC} = 2\cdot12\;\text{cm} + 2\cdot10\;\text{cm} = $
$ = (24 + 20)\;\text{cm} = 44\;\text{cm}$
A questo punto possiamo calcolare l’area laterale del prisma:
$A_{laterale} = P_{ABCD} \cdot \overline{AE} = 44\;\text{cm} \cdot 38\;\text{cm} = 1672\;\text{cm}^{2}$
L’area totale del prisma è:
$A_{totate} = A_{laterale} + 2 \cdot A_{base} = A_{laterale} + 2 \cdot A_{rettangolo} = $
$ = 1672\;\text{cm}^{2} + 2 \cdot 120\;\text{cm}^{2} = 1912\;\text{cm}^{2}$