DOMANDA di Carmen
Un quadrato avente l’area di 256 cm quadrati è la base di un prisma retto la cui altezza misura 35 cm. Calcola l’area della superficie laterale e totale del prisma.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- area del quadrato ABCD $A_{ABCD} = 256\;\text{cm}^{2}$;
- altezza del prisma $\overline{AE}=\overline{BF}=\overline{CG}=\overline{DH}=35\;\text{cm}$;
utilizzando questi dati dobbiamo calcolare l’area della superficie laterale ($A_{laterale}$) e l’area della superficie totale ($A_{totale}$) del prisma.
Ricordiamo che l‘area della superficie laterale del prisma retto si ottiene moltiplicando la lunghezza del perimetro di base per quella dell’altezza. L’altezza la conosciamo, mentre il perimetro di base possiamo calcolarlo utilizzando il dato (1) del problema:
Il lato del quadrato è la radice quadrata dell’area, per cui:
$\overline{AB} = \sqrt{A_{ABCD}} = \sqrt{256\;\text{cm}^{2}} = 16\;\text{cm}$
segue che il perimetro della base del prisma, corrispondente al perimetro del quadrato $ABCD$, è:
$P_{ABCD} = 4 \cdot \overline{AB} = 4 \cdot 16\;\text{cm} = 64\;\text{cm}$
A questo punto possiamo calcolare l’area laterale del prisma:
$A_{laterale} = P_{ABCD} \cdot \overline{AE} = 64\;\text{cm} \cdot 35\;\text{cm} = 2240\;\text{cm}^{2}$
L’area totale del prisma è:
$A_{totate} = A_{laterale} + 2 \cdot A_{base} = A_{laterale} + 2 \cdot A_{quadrato} = $
$= 2240\;\text{cm}^{2} + 2 \cdot 256\;\text{cm}^{2} = 2752\;\text{cm}^{2}$