DOMANDA di Fanel
Una scatola a forma di prisma a base esagonale ha il lato di base di 8 cm e altezza di 20 cm. Quanti centimetri quadrati misura la sua area totale?
RISPOSTA:
Scriviamo i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $l = 8\;\text{cm}$;
- $h = 20\;\text{cm}$;
L’area della superficie totale del prisma ($A_{totale}$) può essere calcolata come la somma dell’area laterale ($A_{laterale}$) e delle due basi esagonali ($A_{esagono}$), cioè:
$A_{totale} = A_{laterale} + 2\cdotp A_{esagono}$
L’area della superficie laterale del prisma ($A_{laterale}$) può essere calcolata come il prodotto tra il perimetro della base ($P_{esagono}$) e l’altezza del prisma, cioè:
$A_{laterale}=P_{esagono}\;\cdot\;h$.
La misura dell’altezza $h$ è nota dai dati del problema. Quindi, per determinare l’area laterale basta calcolare il perimetro dell’esagono che è uguale a:
$P_{esagono}=6\;\cdot\;l=6\;\cdot\;8\;\text{cm}=48\;\text{cm}$.
Infine, l’area laterale del prisma sarà pari a:
$A_{laterale}=P_{esagono}\;\cdot\;h=48\;\text{cm}\cdot\;20\;\text{cm}=960\;\text{cm}^2$.
Adesso conosciamo l’area laterale, l’unico dato che ci manca per calcolare l’area totale è l’area dell’esagono di base. Ricordiamo che per un esagono l’area si calcola nel seguente modo:
$A_{esagono}=3\;\cdot\;a\;\cdot\;l$,
dove $l$ è il lato e $a$ è l’apotema.
Poiché l’apotema di un esagono regolare misura $\dfrac{\sqrt{3}}{2}l$, risulta:
$A_{esagono}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot l^2$;
$A_{esagono}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdotp\left(8\;\text{cm}\right)^2 = 96\sqrt{3}\;\text{cm}^2$.
A questo punto abbiamo tutto ciò che ci occorre per calcolare l’area totale del prisma:
$A_{totale} = A_{laterale} + 2\cdotp A_{esagono}$;
$A_{totale}= \left(960 + 2\cdotp 96\sqrt{3}\right)\;\text{cm}^2 = 192\left(5 + \sqrt{3}\right)\;\text{cm}^2 $.