DOMANDA di Asia
Calcola l’area della superficie totale di una piramide quadrangolare sapendo che l’area di base è $6084\text{ cm}^2$ e l’apotema è i $\dfrac{17}{13}$ dello spigolo di base.
RISPOSTA:
Scriviamo i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- Area della base $A_{ABCD} = 6084\;\text{cm}^2$;
- $apotema = \dfrac{17}{13}\cdot \overline{AB}$;
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare l’area della superficie totale della piramide, che è uguale all’area di base + l’area della superficie laterale:
$A_{totale} = A_{ABCD} + A_{laterale}$
Poichè l’area di base ($A_{ABCD}$) la conosciamo già, per calcolare l’area totale basta calcolare l’area della superficie laterale. Ricordiamo che l’area della superficie laterale di una piramide retta si ottiene moltiplicando la lunghezza del perimetro di base per quella dell’apotema e dividendo il prodotto per 2:
$A_{laterale} = \dfrac{P_{ABCD}\cdot apotema}{2}$.
Cominciamo con il calcolare il perimetro di base $P_{ABCD}$.
La base della piramide è un quadrato; conoscendo la sua area possiamo facilmente calcolarne il lato:
$ \overline{AB} = \overline{BC} =\overline{CD} =\overline{AD} = \sqrt{A_{ABCD}} =\sqrt{6084\;\text{cm}^2} = 78\;\text{cm}$.
Il perimetro di un quadrato si ottiene moltiplicando un lato per 4:
$P_{ABCD}=\overline{AB}\cdot 4 = (78 \cdot 4)\;\text{cm} = 312\;\text{cm}$.
Calcoliamo l’apotema utilizzando il dato 2 del problema.
$apotema = \dfrac{17}{13}\cdot \overline{AB} = \dfrac{17}{13}\cdot 78\;\text{cm}=102\;\text{cm}$.
Adesso abbiamo tutto ciò che ci occorre per calcolare l’area laterale della piramide:
$A_{laterale} = \dfrac{P_{ABCD}\cdot apotema}{2} = \dfrac{\left(312\cdot 102\right)\;\text{cm}^2}{2} = 15912\;\text{cm}^2$.
Calcoliamo infine l’area totale della piramide:
$A_{totale} = A_{ABCD} + A_{laterale}=\left(6084+ 15912\right)\;\text{cm}^2 = 21996\;\text{cm}^2$