DOMANDA di Marco
Quadrilatero inscritto nella circonferenza di centro O, la diagonale AC è il diametro della circonferenza. Sapendo che CD = DA e che BC è AC/2 calcola le ampiezze degli angoli del quadrilatero.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $\overline{CD}$ = $\overline{DA}$;
- $\overline{BC}$ = $\dfrac{\overline{AC}}{2}$;
- $\overline{AC}$ diagonale del quadrilatero e diametro della circonferenza.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare gli angoli del quadrilatero, cioè $B\hat{A}D$, $A\hat{D}C$, $D\hat{C}B$ e $C\hat{B}A$.
Cominciamo con l’osservare che il quadrilatero si può scomporre in due triangoli $ADC$ e $ABC$ con uguale base $\overline{AC}$. I due triangoli $ADC$ e $ABC$ sono entrambi inscritti nelle semicirconferenze ottenute dividendo la circonferenza con il diametro $\overline{AC}$. Siccome ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo, i due triangoli $ADC$ e $ABC$ sono rettangoli in $A\hat{D}C$ e $C\hat{B}A$, rispettivamente. Per cui:
$A\hat{D}C = 90^{\circ}$;
$C\hat{B}A = 90^{\circ}$.
Abbiamo così ottenuto i primi due angoli del quadrilatero $ABCD$. Gli altri due angoli del quadrilatero possono essere calcolati come somma degli angoli alla base dei triangoli $ADC$ e $ABC$ secondo queste formule:
$B\hat{A}D$ = $B\hat{A}C$ + $C\hat{A}D$; (1)
$D\hat{C}B$ = $D\hat{C}A$ + $A\hat{C}B$. (2)
Gli angoli $C\hat{A}D$ e $D\hat{C}A$ sono gli angoli alla base del triangolo $ADC$. Siccome dal dato 1 del problema si sa che $\overline{CD}$ = $\overline{DA}$, il triangolo $ADC$ è isoscele per cui:
$C\hat{A}D$ = $D\hat{C}A$.
Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, che l’angolo $A\hat{D}C$ è $90^{\circ}$, gli angoli alla base del triangolo $ADC$ sono uguali e si calcolano nel seguente modo:
$C\hat{A}D$ = $D\hat{C}A$ = $\dfrac{180^{\circ} \text{- } A\hat{D}C}{2}$ = $\dfrac{180^{\circ} \text{- } 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$.
Gli angoli $B\hat{A}C$ e $A\hat{C}B$ sono gli angoli alla base del triangolo $ABC$. Siccome il dato 2 del problema ci dice che $\overline{BC}$ = $\dfrac{\overline{AC}}{2}$ ed inoltre sappiamo che il triangolo $ABC$ è rettangolo, questo triangolo rientra nella categoria dei triangoli notevoli con angoli acuti di 30° e 60°. Precisamente,
$B\hat{A}C = 30^{\circ}$;
$A\hat{C}B = 60^{\circ}$.
Sostituendo gli angoli appena calcolati nelle espressioni (1) e (2), possiamo calcolare gli altri due angoli del quadrilatero, ossia:
$B\hat{A}D = B\hat{A}C + C\hat{A}D = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$;
$D\hat{C}B = D\hat{C}A + A\hat{C}B = 45^{\circ} + 60^{\circ} = 105^{\circ}$.
Ricordando che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360°, puoi facilmente verificare la corretta risoluzione del problema.