DOMANDA di Lucy
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo sapendo che le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono lunghe rispettivamente 8.82 cm e 103.68 cm
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- proiezione del cateto minore $\overline{AH} = 8.82\;\text{cm}$,
- proiezione del cateto maggiore $\overline{HB} = 103.68\;\text{cm}$ ;
- ipotenusa $\overline{AB} = \overline{AH} + \overline{HB} = 112.5\;\text{cm}$, per costruzione;
$\overline{AB} : \overline{AC} = \overline{AC} : \overline{AH}$;
$\overline{AC}^{2} = \overline{AB}\;\cdotp\;\overline{AH}$;
$\overline{AC}^{2} = (112.5\;\cdotp\;8.82)\;\text{cm}^2 = 992.25\;\text{cm}^2$;
$\overline{AC} = \sqrt{992.25\;\text{cm}^2} = 31,5\;\text{cm}$;
$\overline{AC} = 31.5 \;\text{cm}$;
Applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo $ABC$ possiamo calcolare il cateto $\overline{BC}$:
$\overline{BC} = \sqrt{\overline{AB}^{2} \; \text{-} \; \overline{AC}^{2}}$;
$\overline{BC} =\sqrt{\left(112.5^{2} \; \text{-} \; 31.5^{2}\right)\;\text{cm}^2}$;
$\overline{BC} = \sqrt{\left(12656.25 \;\text{-} \; 992.25\right)\;\text{cm}^2} =\sqrt{11664\;\text{cm}^2} = 108 \;\text{cm}$;
$\overline{BC} = 108 \;\text{cm}$;
A questo punto abbiamo tutto ciò che ci occorre per calcolare il perimetro e l’area. Il perimetro si calcola sommando i tre lati:
$P_{ABC} = \overline{AB} + \overline{AC} +\overline{BC} = \left(112.5 + 31.5 + 108\right)\;\text{cm} = 252\;\text{cm}$;
L’area può essere calcolata nel seguente modo:
$A_{ABC} = \dfrac{\overline{AC}\;\cdotp\;\overline{BC}}{2} = \dfrac{\left(31.5\;\cdotp\;108\right)\;\text{cm}^{2}}{2} = 1701\;\text{cm}^2$