DOMANDA di Giovanni
Nel triangolo rettangolo abc l’area è di 1176 $\text{cm}^{2}$ e un cateto è i 3/4 dell’altro. Calcola il perimetro e l’altezza relativa all’ipotenusa.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- area del triangolo $A = 1176\;\text{cm}^{2}$;
- $a=\dfrac{3\cdot b}{4}$.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il perimetro e l’altezza $h$ relativa all’ipotenusa.
Usando il dato (1) e (2) possiamo risolvere il problema nel modo seguente. Sostituiamo il dato (2) nel dato (1) ed otteniamo un’equazione nell’incognita $b$:
$A = \dfrac{a\cdot b}{2} = 1176\;\text{cm}^{2}$;
$\dfrac{a\cdot b}{2} = 1176\;\text{cm}^{2}$;
$\dfrac{\dfrac{3\cdot b}{4}\cdot b}{2} = 1176\;\text{cm}^{2}$;
$\dfrac{\dfrac{3\cdot b^{2}}{4}}{2} = 1176\;\text{cm}^{2}$;
$\dfrac{3\cdot b^{2}}{4} = 2\cdot 1176\;\text{cm}^{2}$;
$\dfrac{3\cdot b^{2}}{4} = 2352\;\text{cm}^{2}$;
$b^{2} = \dfrac{4\cdot 2352\;\text{cm}^{2}}{3} = 3136\;\text{cm}^{2}$;
$b = \sqrt{3136\;\text{cm}^{2}} = 56\;\text{cm}$.
A questo punto, sostituendo il valore del cateto $b$ nel dato (2), otteniamo anche l’altro cateto $a$:
$a=\dfrac{3\cdot b}{4}=\dfrac{3\cdot 56\;\text{cm}}{4}=42\;\text{cm}$.
Utilizzando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato), possiamo calcolare anche l’ipotenusa $c$ del triangolo:
$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(42\;\text{cm})^{2}+(56\;\text{cm})^{2}}=\sqrt{4900\;\text{cm}^{2}}=70\;\text{cm}$.
A questo punto possiamo calcolare il perimetro:
$P=a+b+c=42\;\text{cm}+56\;\text{cm}+70\;\text{cm}=168\;\text{cm}$.
L’altezza relativa all’ipotenusa si può calcolare utilizzando le formule inverse:
$h=\dfrac{2\cdot A}{c}=\dfrac{2\cdot 1176\;\text{cm}^{2}}{70\;\text{cm}}=33.6\;\text{cm}$.