DOMANDA di Francesco
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo sapendo che le sue proiezioni sull’ipotenusa sono 75 e 27.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- proiezione del cateto minore $\overline{AH} = 27$,
- proiezione del cateto maggiore $\overline{HB} = 75$ ;
- ipotenusa $\overline{AB} = \overline{AH} + \overline{HB} = 102$, per costruzione;
$\overline{AB} : \overline{AC} = \overline{AC} : \overline{AH}$;
$\overline{AC}^{2} = \overline{AB}\;\cdotp\;\overline{AH}$;
$\overline{AC}^{2} = 102\;\cdotp\;27 = 2754$;
$\overline{AC} = \sqrt{2754} = 52,48$.
Applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo $ABC$ possiamo calcolare il cateto $\overline{BC}$:
$\overline{BC} = \sqrt{\overline{AB}^{2} \; \text{-} \; \overline{AC}^{2}}$;
$\overline{BC} =\sqrt{\left(102^{2} \; \text{-} \; 52,48^{2}\right)}$;
$\overline{BC} = \sqrt{10404 \;\text{-} \; 2754,1504} =\sqrt{7649,8496} = 87,46$.
A questo punto abbiamo tutto ciò che ci occorre per calcolare il perimetro e l’area. Il perimetro si calcola sommando i tre lati:
$P_{ABC} = \overline{AB} + \overline{AC} +\overline{BC} = 102 + 52,48 + 87,46 = 241,94$.
L’area può essere calcolata nel seguente modo:
$A_{ABC} = \dfrac{\overline{AC}\;\cdotp\;\overline{BC}}{2} = \dfrac{52,48\;\cdotp\;87,46}{2} = 2295$.