DOMANDA di Elena
Un triangolo è equivalente ad un rettangolo il cui perimetro è 80cm. Calcola la misura della base del triangolo sapendo che l’altezza del rettangolo è 3/10 di quella del triangolo, mentre la loro differenza è 35 cm.
RISPOSTA:
Scriviamo i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figure riportate di seguito:
- perimetro rettangolo $P_{DEFG} = 2\cdot\overline{DE} + 2\cdot\overline{DG} = 80\;\text{cm}$;
- altezza rettangolo $\overline{DG} = \dfrac{3}{10}\overline{CH}$;
- differenza tra l’altezza del triangolo e quella del rettangolo è $\overline{CH} – \overline{DG} = 35\;\text{cm}$;
- triangolo e rettangolo sono equivalenti quindi le aree sono uguali $A_{ABC} = A_{DEFG}$.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare la base $\overline{AB}$ del triangolo $ABC$. Cominciamo col calcolare l’altezza del triangolo $\overline{CH}$ utilizzando i dati (2) e (3) del problema. Sostituendo il dato (2) nel dato (3) del problema si ha:
$\overline{CH} – \overline{DG} = 35\;\text{cm}$
$\overline{CH}-\dfrac{3}{10}\overline{CH} = 35\;\text{cm}$
$\dfrac{10\overline{CH} – 3\overline{CH}}{10} = 35\;\text{cm}$
$\dfrac{7\overline{CH}}{10} = 35\;\text{cm}$
$\overline{CH} = \dfrac{10}{7}\cdot 35\;\text{cm} = 50\;\text{cm}$
Nota l’altezza del triangolo $\overline{CH}$, utilizzando il dato (2) otteniamo anche l’altezza del rettangolo:
$\overline{DG} = \dfrac{3}{10}\overline{CH} = \dfrac{3}{10}50\;\text{cm} = 15\;\text{cm}$
A questo punto, utilizzando il dato (1) del problema possiamo calcolare la base $\overline{DE}$ del rettangolo. Sostituendo il valore dell’altezza del rettangolo nel dato (1), otteniamo un’equazione nell’incognita $\overline{DE}$, che corrisponde alla base del rettangolo, per cui:
$P_{DEFG} = 2\cdot\overline{DE} + 2\cdot\overline{DG} = 80\;\text{cm}$
$2\cdot\overline{DE} + 2\cdot 15\;\text{cm} = 80\;\text{cm}$
$2\cdot\overline{DE} + 30\;\text{cm}= 80\;\text{cm}$
$2\cdot\overline{DE} = 80\;\text{cm} – 30\;\text{cm}$
$2\cdot\overline{DE} = 50\;\text{cm}$
$\overline{DE} = \dfrac{1}{2}50\;\text{cm}$
$\overline{DE} = 25\;\text{cm}$
Segue che l’area del rettangolo $A_{DEFG}$ è:
$A_{ABCD} = \overline{DE}\cdot\overline{DG} = (25\cdot 15)\;\text{cm}^{2} = 375\;\text{cm}^{2}$
Siccome il rettangolo ed il triangolo sono equivalenti hanno le stesse aree, ossia l’area del triangolo è:
$A_{ABC} = A_{DEFG} = 375\;\text{cm}^{2}$
Nota l’area del triangolo, la base $\overline{AB}$ del triangolo si calcola con le formule inverse, ossia:
$A_{ABC} = \dfrac{\overline{AB}\;\cdot\;\overline{CH}}{2} \Rightarrow \overline{AB}=\dfrac{2\;\cdotp\;A_{ABC}}{\overline{CH}}$;
$\overline{AB}=\dfrac{2\;\cdotp\;375\;\text{cm}^{2}}{50\;\text{cm}} = 15\;\text{cm}$;
$\overline{AB} = 15\;\text{cm}$.