DOMANDA di Isabella
Devo calcolare l’area e il perimetro di un trapezio rettangolo sapendo che la diagonale minore è di $7,5\;\text{cm}$, l’altezza di $7,2\;\text{cm}$ e la base maggiore di $7,5\;\text{cm}$.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $\overline{AC} = 7,5\;\text{cm}$;
- $\overline{CH} = \overline{AD} =7,2\;\text{cm}$;
- $\overline{AB} = 7,5\;\text{cm}$.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare l’area ($A_{ABCD}$) ed il perimetro ($P_{ABCD}$) del trapezio.
La base minore $\overline{CD}$ può essere calcolata applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo $ACD$:
$\overline{CD}$ = $\sqrt{\overline{AC}^{2} \; \text{-} \; \overline{AD}^{2}}$ = $\sqrt{\left(7,5^2\;\text{-} \; 7,2^2\right)\;\text{cm}^2}$ =
$ \sqrt{\left(56,25\;\text{-}\;51,84\right)\;\text{cm}^2}$ = $ \sqrt{4,41\;\text{cm}^2}$ = $2,1\;\text{cm}$.
Conoscendo la base minore possiamo facilmente calcolare il segmento $\overline{BH}$ nel seguente modo:
$\overline{BH}=\overline{AB}-\overline{CD}=\left(7,5-2,1\right)\;\text{cm}=5,4\;\text{cm}$.
Per calcolare il lato obliquo $\overline{BC}$ applico il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo $BHC$:
$\overline{BC}$ = $\sqrt{\overline{BH}^{2}+\overline{CH}^{2}}$ = $\sqrt{\left(5,4^2+7,2^2\right)\;\text{cm}^2}$ =
$\sqrt{\left(29,16+51,84\right)\;\text{cm}^2}$ = $81\;\text{cm}^2$$ = $$9\;\text{cm}$.
Adesso abbiamo tutti i dati necessari per calcolare il perimetro e l’area del trapezio $ABCD$:
$P_{ABCD}=\overline{AB}\;\text{+}\;\overline{BC}\;\text{+}\;\overline{CD}\;\text{+} \;\overline{AD}=\left(7,5\;\text{+}\;9\;\text{+}\;2,1\;\text{+}\;7,2\right)\;\text{cm}=25,8\;\text{cm}$.
$A_{ABCD} = \dfrac{\left( \overline{AB} \; \text{+} \; \overline{CD} \right) \cdotp \overline{AD}}{2} = \dfrac{\left(7,5\;\text{+}\;2,1\right)\text{cm}\;\cdotp 7,2\;\text{cm}}{2} =34,56\;\text{cm}^{2}$