DOMANDA di ELENA
La base minore di un trapezio rettangolo misura 18 cm, la differenza delle misure dell’altezza e della proiezione del lato obliquo sulla base maggiore è 3cm. Sapendo che quest’ultima è 3/4 dell’altezza, calcola area e perimetro del trapezio.
RISPOSTA:
Scrivo i dati che il problema mi fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- la base minore $\overline{DC} = 18 \; \text{cm} $;
- differenza tra altezza e proiezione del lato obliquo sulla base maggiore: $\overline{CH} \;\text{-}\; \overline{HB} = 3 \; \text{cm} $ ;
- rapporto tra proiezione del lato obliquo sulla base maggiore e altezza: $\overline{HB} = \dfrac{3}{4} \overline{CH}$.
Utilizzando questi tre dati che ci fornisce il problema dobbiamo calcolare l’area del trapezio ($A_{ABCD}$) ed il perimetro ($P_{ABCD}$). Inizio a calcolare i valori di $\overline{HB}$ e $\overline{CH}$ utilizzando i dati 2 e 3. Il dato 3 mi dice quanto vale $\overline{HB}$ in funzione di $\overline{CH}$, quindi nel dato 2 posso sostituire $\overline{HB}$ con $ \dfrac{3}{4} \overline{CH}$:
$\overline{CH} \;\text{-}\; \overline{HB} = 3 \; \text{cm} $;
$\overline{CH} \;\text{-}\; \dfrac{3}{4} \overline{CH} = 3 \; \text{cm}$;
$ \dfrac{1}{4} \overline{CH} = 3 \; \text{cm} $;
$\overline{CH} = 12 \; \text{cm} $.
Per costruzione sappiamo che:
$\overline{DA} = \overline{CH} = 12 \; \text{cm}$;
$ \overline{AH} = \overline{DC} = 18 \; \text{cm}$.
Dopo aver calcolato il valore di $\overline{CH}$, posso calcolare $\overline{HB}$ utilizzando il dato 3:
$\overline{HB} = \dfrac{3}{4} \overline{CH} = \dfrac{3}{4} \cdotp 12 \; \text{cm} = 9 \; \text{cm}$.
Il valore della base maggiore può essere calcolato sommando $\overline{AH}$ ed $\overline{HB}$:
$\overline{AB} = \overline{AH} + \overline{HB} = $
$ = \left(18 + 9 \right) \; \text{cm} = 27 \; \text{cm}$
Poichè conosco sia il valore di $\overline{CH}$ che di $\overline{HB}$, posso applicare il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo $BHC$ per calcolare il lato $\overline{BC}$:
$\overline{BC} = \sqrt{\left( \overline{CH}^{2} + \overline{HB}^2 \right)} = $
$=\sqrt{\left( 12^{2} + 9^2 \right) \; \text{cm}^{2}} = $
$= \sqrt{\left( 144 + 81 \right) \; \text{cm}^{2}} = $
$ = \sqrt{225 \; \text{cm}^{2}} = 15 \; \text{cm}$
A questo punto abbiamo tutti i dati che ci occorrono per calcolare l’area ed il perimetro del trapezio rettangolo. L’area del trapezio può essere calcolata nel seguente modo:
$ A_{ABCD} = \dfrac{\left( \overline{AB} \; \text{+} \; \overline{DC} \right) \cdotp \overline{CH}}{2} = $
$ = \dfrac{\left( 27 \; \text{+} \; 18 \right) \cdotp 12 \; \text{cm}^2}{2} = 270 \text{cm}^2 $
Il perimetro del trapezio si ottiene sommando tutti e 4 i lati:
$P_{ABCD} = \overline{AB} \; \text{+} \; \overline{BC} \; \text{+} \; \overline{DC} \; \text{+} \; \overline{DA} = $
$ = \left( 27 \; \text{+} \; 15 \; \text{+} \; 18 \; \text{+} \; 12 \right) \text{cm} = 72 \text{cm} $
Possiamo concludere dicendo che l’area del trapezio rettangolo misura $270 \; \text{cm}^2$ mentre il suo perimetro misura $72 \; \text{cm}$.