DOMANDA di Giovanni
In un trapezio rettangolo l’angolo acuto adiacente alla base maggiore è ampio 60°. Sapendo che il lato obbliquo, l’altezza e la base minore misurano rispettivamente 100 cm, 86.6 cm e 60 cm, calcola il perimetro e l’area del trapezio.
RISPOSTA:
Scriviamo i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $C\hat{B}H = 60^{\circ}$;
- base minore $\overline{CD} = 60\;\text{cm}$;
- lato obliquo $\overline{BC} = 100\;\text{cm}$;
- altezza $\overline{CH} = \overline{AD} = 86.6\;\text{cm}$.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il perimetro $P_{ABCD}$ e l’area $A_{ABCD}$ del trapezio rettangolo.
Consideriamo il triangolo $CHB$. La somma degli angoli interni di un triangolo è $180^{\circ}$, quindi possiamo calcolare l’anglo $H\hat{C}B$ nel seguente modo:
$H\hat{C}B = 180^{\circ} \;\text{-} \;C\hat{H}B \;\text{-} \;C\hat{B}H = 180^{\circ}\; \text{-}\; 90^{\circ}\; \text{-}\; 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
Poiché $H\hat{C}B$ è risultato essere uguale a 30°, il triangolo $CHB$ rientra nella categoria dei triangoli notevoli con angoli acuti di 30° e 60°, per i quali il cateto $\overline{HB}$ opposto all’angolo acuto di 30° sarà la metà dell’ipotenusa $\overline{BC}$, per cui:
$\overline{HB} = \dfrac{\overline{BC}}{2} = \dfrac{100}{2} = 50\;\text{cm}$.
Per costruzione noi sappiamo che:
$\overline{AH} = \overline{CD} = 60\;\text{cm}$.
Segue che la base maggiore $\overline{AB}$ può essere così calcolata:
$\overline{AB} = \overline{AH} \; \text{+} \; \overline{HB} = (60\;\text{+}\;50)\;\text{cm} = 110\;\text{cm}$.
A questo punto possiamo calcolare il perimetro del trapezio:
$P_{ABCD} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{AD} = (110 + 100 + 60 + 86.6)\;\text{cm} = 356.6\;\text{cm}$.
L’area del trapezio è:
$ A_{ABCD} = \dfrac{\left( \overline{AB} \; \text{+} \; \overline{CD} \right) \cdotp \overline{CH}}{2} = \dfrac{\left( 110 \text{ cm}\; \text{+} \; 60 \text{ cm} \right) \cdotp 86.6 \text{ cm}}{2} = 7361 \text{ cm}^{2}$.