DOMANDA di MARIA
In un trapezio rettangolo la base maggiore misura 57.8 cm; il lato obliquo misura 51 cm ed è perpendicolare alla diagonale minore. Determina: la misura dell’altezza del trapezio; la misura del perimetro e l’area.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- il lato obliquo $\overline{BC}$ = 51 cm,
- la base maggiore $\overline{AB}$ = 57.8 cm,
- l’angolo $A\hat{C}B$ = 90°;
utilizzando questi tre dati che ci fornisce il problema dobbiamo calcolare l’altezza $\overline{CH} = \overline{DA}$, il perimetro ($P_{ABCD}$) e l’area ($A_{ABCD}$) del trapezio.
Poiché $A\hat{C}B$ = 90° il triangolo $ABC$ è rettangolo, la cui ipotenusa è la base maggiore $\overline{AB}$. Noto il lato $\overline{BC}$ possiamo calcolare il segmento $\overline{HB}$ utilizzando il primo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa). Nel nostro caso il cateto considerato è $\overline{BC}$, mentre la sua proiezione sull’ipotenusa è $\overline{HB}$, quindi possiamo scrivere che:
$ \overline{HB} : \overline{BC} = \overline{BC} : \overline{AB}$ $\Rightarrow$ $\overline{HB} =\dfrac{\overline{BC}^{2}}{\overline{AB}}$ = $\dfrac{\left(51 \; \text{cm}\right)^{2}}{57.8 \; \text{cm}}$ = $45 \; \text{cm}$ .
Adesso sappiamo quanto vale $\overline{HB}$, quindi possiamo calcolare anche il valore di $\overline{AH}$, poiché:
$\overline{AH} = \overline{AB} \; \text{-} \; \overline{HB}$ = $\left(57.8 \; \text{-} \; 45 \right) \; \text{cm}$ = $12.8 \; \text{cm}$
Segue che:
$\overline{DC} = \overline{AH} = 12.8 \; \text{cm}.$
Sapendo il valore di $\overline{AH}$ ed $\overline{HB}$ possiamo calcolare il valore dell’altezza $\overline{CH}$ utilizzando il secondo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa). Nel nostro caso l’altezza relativa all’ipotenusa è $\overline{CH}$, mentre le proiezioni dei due cateti sono $\overline{AH}$ ed $\overline{HB}$, quindi possiamo scrivere:
$ \overline{AH} : \overline{CH} = \overline{CH} : \overline{HB}$ $\Rightarrow$ $\overline{CH}^{2} = \overline{AH} \cdotp \overline{HB}$ = $ (12.8 \cdotp 45) \; \text{cm}$ $\Rightarrow$ $ \overline{CH} = \sqrt{576}$ = $24 \; \text{cm}$.
Di conseguenza:
$\overline{DA} = \overline{CH} = 24 \; \text{cm}$
Adesso abbiamo tutti i dati necessari per calcolare il perimetro e l’area del trapezio $ABCD$:
$P_{ABCD} = \overline{AB} \; \text{+} \; \overline{BC}\; \text{+} \; \overline{DC}\; \text{+} \; \overline{DA} \; = \; \left(57.8 \; \text{+} \; 51\; \text{+} \; 12.8 \; \text{+} \; 24 \right) \; \text{cm} = 145.6\text{cm}$
$A_{ABCD} = \dfrac{\left( \overline{AB} \; \text{+} \; \overline{DC} \right) \cdotp \overline{CH}}{2} = \dfrac{\left(57.8 \; \text{+} \; 12.8 \right) \text{cm} \; \cdotp 24 \; \text{cm}}{2} = 847.2 \; \text{cm}^{2}$
Il perimetro ($P_{ABCD}$) è la somma dei 4 lati del trapezio, mentre l’area ($A_{ABCD}$) è il prodotto della somma di base maggiore e base minore per l’altezza, diviso 2.