DOMANDA di Francesca
Le diagonali di un trapezio isoscele sono perpendicolari e il loro punto di intersezione le divide in 2 segmenti che misurano rispettivamente 60M e 25M. Calcola il perimetro del trapezio.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $\overline{DP} = \overline{CP}= $ 25M;
- $\overline{AP} = \overline{BP}= $ 60M;
- diagonali perpendicolari: $A\hat{P}B = C\hat{P}A = C\hat{P}D = D\hat{P}B$ = 90°
utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il perimetro ($P_{ABCD}$) del trapezio.
Dato che le due diagonali $\overline{BC}$ e $\overline{AD}$ sono perpendicolari, esse formano 4 angoli retti, quindi i triangoli $APB$, $BPD$, $DPC$ e $CPA$ sono tutti e 4 rettangoli in $\hat{P}$.
Applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo $APB$, possiamo calcolare la base maggiore $\overline{AB}$:
$\overline{AB} = \sqrt{\overline{AP}^2 + \overline{BP}^2} = $
$=\sqrt{\left(60^2 + 60^2\right)\text{ M}^2} = $
$=\sqrt{2\;\cdotp\;3600 \text{ M}^2} = 60 \sqrt{2} \text{ M}$.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo $DPC$, possiamo calcolare la base minore $\overline{CD}$:
$\overline{CD} = \sqrt{\overline{CP}^2 + \overline{DP}^2} = $
$=\sqrt{\left(25^2 + 25^2\right)\text{ M}^2} = $
$=\sqrt{2\;\cdotp\; 625 \text{ M}^2} = 25 \sqrt{2} \text{ M}$.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo $CPA$, possiamo calcolare il lato obliquo $\overline{AC}$:
$\overline{AC} = \sqrt{\overline{AP}^2 + \overline{CP}^2} = $
$=\sqrt{\left(60^2 + 25^2\right)\text{ M}^2} = $
$=\sqrt{\left(3600 + 625\right)\text{ M}^2}= \sqrt{4225 \text{ M}^2} = 65\text{ M}$.
Poichè il trapezio è isoscele, i due lati obliqui sono uguali:
$\overline{BD} = \overline{AC} = 65 \text{ M}$
Adesso abbiamo tutti i dati necessari per calcolare il perimetro del trapezio isoscele:
$P_{ABCD} = \overline{AB} +\overline{CD} +\overline{AC} +\overline{BD} = $
$=\left(60 \sqrt{2} + 25 \sqrt{2} + 65 + 65\right) \text{ cm} = 250,2 \text{ M}$;