DOMANDA di Manuel
In un trapezio isoscele gli angoli acuti alla base hanno un’ampiezza di 60°. Sapendo che la differenza tra le due basi è 36 centimetri e che l’area è 1870,56 cm quadrati, calcola il perimetro del trapezio.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- angoli acuti alla base $D\hat{A}K = C\hat{B}H = 60^{\circ}$;
- differenza tra le basi $\overline{AB}\;\text{-}\;\overline{DC} = \overline{AB} \text{-} \overline{KH} = 36 \text{cm}$;
- area del trapezio $A_{ABCD} = 1870.56 \text{ cm}^{2}$;
Poichèil trapezio ABCD è isoscele, possiamo calcolare il segmento $\overline{AK}$ nel seguente modo.
$\overline{AK} = \overline{BH} = \dfrac{\overline{AB} \text{-} \overline{KH}}{2} = \dfrac{36 \text{ cm}}{2} = 18 \text{ cm}$
Il triangolo rettangolo $ADK$ ha un angolo acuto di 60°, quindi l’altro angolo acuto sarà uguale a 30°, poichè la somma degli angoli interni di un triangolo deve essere 180°. Il triangolo ADK è quindi un triangolo rettangolo particolare, per cui si ha:
$\overline{AD} = 2 \cdot \overline{AK} = 2 \cdot 18 \text{ cm} = 36\;\text{ cm}$
$\overline{DK} = \sqrt{3} \cdot \overline{AK} = \sqrt{3} \cdot18\;\text{ cm}$
I lati obliqui di un trapezio isoscele sono uguali, quindi:
$\overline{BC} = \overline{AD} = 36 \text{ cm}$
Adesso dobbiamo calcolare la base maggiore e la base minore. Per fare ciò, poichè si tratta di 2 incognite, abbiamo bisogno di 2 equazioni. Una prima equazione ce la fornisce il problema nel dato 2. che ci dà la differenza tra base maggiore e base minore. Utilizzando la formula inversa per il calcolo dell’area possiamo ricavarci la seconda equazione nel seguente modo:
$A_{ABCD} = \dfrac{(\overline{AB} + \overline{DC}) \cdot \overline{DK}}{2}$
$\overline{AB} + \overline{DC} = \dfrac{A_{ABCD} \cdot 2}{\overline{DK}} = \dfrac{1870.56 \text{ cm}^{2} \cdot 2}{\sqrt{3} \cdot 18 \text{ cm}} =$
$=\dfrac{207.84 \text{ cm}}{\sqrt{3}} = 69.28 \cdot \sqrt{3} \text{ cm} \simeq 120 \text{ cm}$
A questo punto se poniamo $\overline{AB} = x$ e $\overline{DC} = y$ abbiamo il seguente sistema di 2 equazioni in 2 incognite:
$x \; \text{-} \; y = 36 \text{ cm}$ (1)
$x + y = 120 \text{ cm}$ (2)
Ricaviamo $x$ dalla prima equazione:
$x = 36 \text{ cm} + y$
e sostituiamo questo valore nella seconda equazione:
$36 \text{ cm} + y + y = 120 \text{ cm}$
$36 \text{ cm} + 2y = 120 \text{ cm}$
$2y = 120 \text{ cm} \;\text{-}\; 36 \text{ cm} = 84 \text{ cm}$
$y = \dfrac{84 \text{ cm}}{2} = 42 \text{ cm}$
$\overline{DC} = y = 42 \text{ cm}$
Adesso per calcolare la $x$ sostituiamo il valore trovato della $y$ nella prima equazione:
$x \;\text{-}\; 42 \text{ cm} = 36 \text{ cm}$
$x = (42 + 36) \text{ cm} = 78 \text{ cm}$
$\overline{AB} = x = 78 \text{ cm}$
A questo punto abbiamo tutti i dati necessari per calcolare il perimetro del trapezio:
$P_{ABCD} = \overline{AB} + \overline{DC} + \overline{AD} + \overline{BC} = $
$ = (78 + 42 + 36 + 36) \text{ cm} = 192 \text{ cm}$