DOMANDA di Enri
In un trapezio isoscele le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui. Sapendo che ciascun lato obliquo misura $36\;\text{cm}$, ciascuna diagonale $48\;\text{cm}$ e la base minore è i 7/25 della maggiore, calcola perimetro e area del trapezio.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $A\hat{D}B=A\hat{C}B = 90^{\circ}$;
- $\overline{CD}=\dfrac{7}{25}\overline{AB}$;
- lato obliquo $\overline{AD}=\overline{BC}=36\;\text{cm}$;
- diagonale $\overline{AC}=\overline{BD}=48\;\text{cm}$;
utilizzando questi dati che il problema ci fornisce dobbiamo calcolare l’area del trapezio ($A_{ABCD}$) ed il suo perimetro ($P_{ABCD}$).
Poichè le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui, il triangolo $ABD$ è rettangolo e l’angolo $A\hat{D}B = 90^{\circ}$. Pertanto, la base maggiore $\overline{AB}$ può essere calcolata applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo $ABD$:
$\overline{AB} = \sqrt{\overline{AD}^{2} + \overline{BD}^{2}} = \sqrt{(36^{2} + 48^{2}) \text{ cm}^{2}} = 60 \text{ cm}$
Conoscendo la base maggiore possiamo calcolare la base minore utilizzando il dato 2:
$\overline{CD}=\dfrac{7}{25}\overline{AB}$
$\overline{CD}=\dfrac{7}{25} \cdotp 60\text{ cm} = 16,8\text{ cm}$
Adesso calcoliamo l’altezza del trapezio procedendo nel seguente modo.
Sapendo che il trapezio è isoscele possiamo facilmente calcolare il segmento $\overline{AH} $:
$\overline{AH} = \overline{BK} = \dfrac{\overline{AB} – \overline{CD}}{2} = \dfrac{\left(\overline{60} – \overline{16,8}\right)\text{cm}}{2} = 21,6\text{cm}$
Calcoliamo l’altezza $\overline{DH}$ applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo $ADH$:
$\overline{DH} = \sqrt{\overline{AD}^{2} – \overline{AH}^{2}} = \sqrt{(36^{2} – 21,6^{2}) \text{ cm}^{2}} = 28,8 \text{ cm}$
Adesso abbiamo tutti i dati necessari per calcolare il perimetro e l’area del trapezio $ABCD$:
$P_{ABCD} = \overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{AD}$;
$P_{ABCD} = \left(60+36+16,8+36\right)\;\text{cm} = 148,8\;\text{cm}$;
$A_{ABCD} = \dfrac{\left(\overline{AB}+\overline{CD}\right)\;\cdotp\;\overline{DH}}{2} = \dfrac{\left(60+16,8\right)\text{cm}\;\cdotp\;28,8\;\text{cm}}{2} =$
$ = 1105,92\;\text{cm}^{2}$
Il perimetro ($P_{ABCD}$) è stato calcolato sommando i 4 lati del trapezio, mentre per calcolare l’area ($A_{ABCD}$) bisogna sommare base maggiore e base minore, moltiplicare tale somma per l’altezza, e dividere il risultato per 2.