DOMANDA di Gloria
In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 60°, l’altezza è congruente alla base minore e il lato obliquo misura 20 m. Calcola l’area del trapezio.
RISPOSTA:
Scriviamo i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $D\hat{A}K = C\hat{B}H = 60^{\circ}$;
- $\overline{DK} = \overline{CH} = \overline{DC}$;
- lato obliquo $\overline{AD} = \overline{BC} = 20\;\text{m}$.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare l’area $A_{ABCD}$ del trapezio isoscele.
Consideriamo il triangolo $CHB$. La somma degli angoli interni di un triangolo è $180^{\circ}$, quindi possiamo calcolare l’anglo $H\hat{C}B$ nel seguente modo:
$H\hat{C}B = 180^{\circ} \;\text{-} \;C\hat{H}B \;\text{-} \;C\hat{B}H = 180^{\circ}\; \text{-}\; 90^{\circ}\; \text{-}\; 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
Poiché $H\hat{C}B$ è risultato essere uguale a 30°, il triangolo $CHB$ rientra nella categoria dei triangoli notevoli con angoli acuti di 30° e 60°, per i quali il cateto $\overline{BH}$ opposto all’angolo acuto di 30° sarà la metà dell’ipotenusa $\overline{BC}$, per cui:
$\overline{BH} = \dfrac{\overline{BC}}{2} = \dfrac{20\;\text{m}}{2} = 10\;\text{m}$.
Inoltre sempre perchè il triangolo $CHB$ rientra nella categoria dei triangoli notevoli con angoli acuti di 30° e 60°, il cateto $\overline{CH}$ opposto all’angolo di 60°, è:
$\overline{CH} = \dfrac{\sqrt{3}\cdot\overline{BC}}{2} = 17,32\;\text{m}$.
Utilizzando il dato (2) del problema possiamo scrivere che:
$\overline{DK} = \overline{CH} = \overline{DC} = \overline{KH} = 17,32\;\text{m}$;
e per costruzione, poichè il trapezio è isoscele, si ha che:
$\overline{AK} = \overline{BH} = 10\;\text{m}$;
segue che, la base maggiore è data da:
$\overline{AB} = \overline{KH} + \overline{AK} + \overline{BH}=17,32\;\text{m} + 10\;\text{m} + 10\;\text{m} = 37,32\;\text{m}$.
A questo punto possiamo calcolare l’area del trapezio:
$A_{ABCD} = \dfrac{\left(\overline{AB} + \overline{DC}\right)\cdotp\overline{CH}}{2}=\dfrac{\left(37,32 + 17,32\right)\text{m}\;\cdotp\;17,32\text{m}}{2} = 473,1824\;\text{m}^2$.