DOMANDA di Carmela
La somma degli angoli acuti di un trapezio isoscele è 120°; la base minore è 5 cm e la base maggiore 11 cm. Calcola la lunghezza del lato del quadrato avente lo stesso perimetro del trapezio.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- somma degli angoli acuti alla base $D\hat{A}K + C\hat{B}H = 120^{\circ}$;
- base maggiore $\overline{AB} = 11 \text{cm}$;
- base minore $\overline{CD} = 5 \text{cm}$;
Poichè il trapezio ABCD è isoscele, i due lati obliqui sono uguali così come gli angoli acuti per cui:
$D\hat{A}K = C\hat{B}H = \dfrac{D\hat{A}K + C\hat{B}H}{2} = \dfrac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$
Inoltre, essendo il trapezio isoscele, i segmenti $\overline{AK}$ e $\overline{HB}$ sono uguali e si ottengono in questo modo:
$\overline{AK} = \overline{AK} = \dfrac{\overline{AB} \text{-} \overline{CD}}{2} = \dfrac{\left(11\;\text{-}\;5\right)\;\text{cm}}{2} = 3 \text{cm}$
Il triangolo rettangolo $ADK$ ha un angolo acuto di 60°, quindi l’altro angolo acuto sarà uguale a 30°, poichè la somma degli angoli interni di un triangolo deve essere 180°. Il triangolo ADK è quindi un triangolo rettangolo particolare, per cui si ha:
$\overline{AD} = 2 \cdot \overline{AK} = 2 \cdot 3 \text{ cm} = 6\;\text{ cm}$
I lati obliqui di un trapezio isoscele sono uguali, quindi:
$\overline{BC} = \overline{AD} = 6 \text{ cm}$
Adesso possiamo calcolare il perimetro del trapezio:
$P_{ABCD} = \overline{AB} + \overline{DC} + \overline{AD} + \overline{BC} = (11 + 5 + 6 + 6) \text{ cm} = 28 \text{ cm}$
Siccome il perimetro del quadrato $P_{quadrato}$ deve essere uguale a quello del trapezio $P_{ABCD}$, siccome i lati di un quadrato sono tutti e quattro uguali e il perimetro è $P_{quadrato } = 4 \cdot lato$, si ha che il lato del quadrato è il perimetro diviso 4, in formule:
$lato = \dfrac{P_{quadrato}}{4} = \dfrac{P_{ABCD}}{4} = \dfrac{28 \text{cm}}{4} = 7 \text{cm}$