DOMANDA di Bruno
Un trapezio scaleno ha la base minore congruente all’altezza che è lunga 18 cm, un angolo acuto di 45° e l’altro di 30°. Determina la lunghezza del suo perimetro e la sua area.
RISPOSTA:
Scriviamo i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- altezza del trapezio: $\overline{CH}=\overline{DK}=18\;\text{cm}$;
- base minore congruente con l’altezza $\overline{CD}=\overline{CH}=18\;\text{cm}$;
- $D\hat{A}B=30^{\circ}$;
- $A\hat{B}C=45^{\circ}$.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il perimetro $P_{ABCD}$ e l’area $A_{ABCD}$ del trapezio.
Procediamo per ordine e calcoliamo dapprima la proiezione $\overline{HB}$ del lato obliquo $\overline{BC}$ sulla base maggiore $\overline{AB}$. Osserviamo che il triangolo $CHB$ è rettangolo, l’angolo $A\hat{B}C=45^{\circ}$, siccome la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, l’angolo $H\hat{C}B$ è:
$H\hat{C}B=180^{\circ}-C\hat{H}B-A\hat{B}C=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$.
Siccome:
$H\hat{C}B=A\hat{B}C=45^{\circ}$
il triangolo $CHB$ è isoscele per cui:
$\overline{HB}=\overline{CH}=18\;\text{cm}$
e lo si può vedere come la metà di un quadrato la cui diagonale $\overline{CB}$, corrispondente ad un lato obliquo del trapezio, è:
$\overline{BC}=\sqrt{2}\cdot\overline{HB}=25.45\;\text{cm}$
Calcoliamo ora la proiezione $\overline{AK}$ del lato obliquo $\overline{AD}$ sulla base maggiore $\overline{AB}$. Osserviamo che il triangolo $AKD$ è rettangolo, l’angolo $D\hat{A}B=30^{\circ}$, siccome la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, l’angolo $A\hat{D}K$ è:
$A\hat{D}K=180^{\circ}-D\hat{K}A-D\hat{A}B=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$.
Segue che il triangolo $AKD$ rientra nella categoria dei triangoli notevoli con angoli acuti di 30° e 60°, per i quali il cateto $\overline{DK}$ opposto all’angolo acuto di 30° è metà dell’ipotenusa $\overline{AD}$, per cui:
$\overline{DK}=\dfrac{\overline{AD}}{2}=18\;\text{cm}$
da cui:
$\dfrac{\overline{AD}}{2}=18\;\text{cm} \rightarrow \overline{AD}=2\cdot 18\;\text{cm}=36\;\text{cm}$
l’altro cateto $\overline{AK}$ è invece:
$\overline{AK}=\dfrac{\sqrt{3}\cdot\overline{AD}}{2}=31.17\;\text{cm}$.
La base maggiore è, per costruzione:
$\overline{AB}=\overline{AK}+\overline{KH}+\overline{HB}=31.17\;\text{cm}+18\;\text{cm}+18\;\text{cm}=67.17\;\text{cm}$
tenendo conto che, per costruzione:
$\overline{KH}=\overline{CD}=18\;\text{cm}$
A questo punto possiamo calcolarci il perimetro del trapezio:
$P_{ABCD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{AD}=$
$=67.17\;\text{ cm}+25.45\;\text{ cm}+18\;\text{ cm}+36\;\text{ cm}=146.62\;\text{ cm}$;
e l’area:
$A_{ABCD}=\dfrac{(\overline{AB}+\overline{CD})\cdot\overline{CH}}{2}=\dfrac{(67.17\;\text{cm}+18\;\text{cm})\cdot 18\;\text{cm}}{2}=766.53\;\text{cm}^{2}$