DOMANDA di Mirco
Nel trapezio ABCD gli angoli acuti $\hat{A}$ e $\hat{B}$ misurano rispettivamente $60^{\circ}$ e $45^{\circ}$. Sai che la base minore misura 50 cm l’altezza 67,5 cm e che i lati obliqui AD e BC misurano rispettivamente 78 cm e 95,5 cm, calcolare: l’ampiezza degli angoli del trapezio; la misura delle proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore; il perimetro del trapezio.
RISPOSTA:
Scriviamo i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $\hat{A}=60^{\circ}$;
- $\hat{B}=45^{\circ}$;
- base minore $\overline{CD} = \overline{KH} = 50\;\text{cm}$;
- altezza $\overline{CH}=67,5\;\text{cm}$;
- lato obliquo $\overline{BC}=95,5\;\text{cm}$;
- lato obliquo $\overline{AD}=78\;\text{cm}$.
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare l’ampiezza degli angoli del trapezio ($\hat{A}$ e $\hat{B}$ sono noti, quindi bisogna calcolare solamente $\hat{C}$ e $\hat{D}$), la misura delle proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore ($\overline{AK}$ e $\overline{HB}$) e il perimetro del trapezio ($P_{ABCD}$).
Procediamo per ordine e calcoliamo l’ampiezza degli angoli $\hat{C}$ e $\hat{D}$.
A tale scopo consideriamo il triangolo rettangolo $HBC$. Dai dati del problema sappiamo che l’angolo $\hat{HBC}=45^{\circ}$. Sapendo che in un triangolo rettangolo gli angoli adiacenti all’ipotenusa sono complementari, è immediato ricavare che anche l’angolo $\hat{BCH}$ sarà pari a $45^{\circ}$.
Osservando poi che $\hat{HCD}=90^{\circ}$ (poiché $CH$ è ortogonale alle due basi del trapezio), otteniamo
$\hat{C}=\hat{BCH}+\hat{HCD}=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$.
Analogamente, considerando il triangolo rettangolo $AKD$ e sapendo che in un triangolo rettangolo gli angoli adiacenti all’ipotenusa sono complementari, ricaviamo:
$\hat{ADK}=90^{\circ}-\hat{DAK}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
Essendo l’angolo $\hat{KDC}=90^{\circ}$ (perché $DK$ è ortogonale alle basi del trapezio), risulta:
$\hat{D}=\hat{ADK}+\hat{KDC}=30^{\circ}+90^{\circ}=120^{\circ}$.
Passiamo ora a calcolare le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore.
Consideriamo il triangolo rettangolo $AKD$. Si tratta di un triangolo notevole avente angoli acuti di $60^{\circ}$ e $30^{\circ}$. Per tali triangoli, il cateto opposto all’angolo di $30^{\circ}$ è la metà dell’ipotenusa, e quindi otteniamo:
$\overline{AK}=\dfrac{\overline{AD}}{2}=\dfrac{78\;\text{cm}}{2}=39\;\text{cm}$.
Il triangolo $HBC$ è rettangolo isoscele in quanto gli angoli adiacenti al lato $\overline{BC}$ sono entrambi uguali a $45^{\circ}$. Poiché dai dati del problema sappiamo che l’altezza $CH$ del trapezio misura $67,5\;\text{cm}$, risulta:
$\overline{HB}=\overline{CH}=67,5\;\text{cm}$.
La base maggiore del trapezio sarà pertanto pari a
$\overline{AB}=\overline{AK}+\overline{KH}+\overline{HB}=(39+50+67,5)\;\text{cm}=156,5\;\text{cm}$.
Infine, il perimetro del trapezio sarà pari a
$P_{ABCD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{AD}=(156,5+95,5+50+78)\;\text{cm}=380\;\text{cm}$.