DOMANDA di Barbara
Una circonferenza è lunga $226,08\;\text{cm}$. Congiungi un punto $D$ di essa con gli estremi $A$ e $B$ del diametro $\overline{AB}$ e da $D$ conduci la parallela $\overline{DC}$ e la perpendicolare $\overline{DE}$ ad $\overline{AB}$. Sapendo che $\overline{AD}$ è lungo $43,2\text{cm}$, calcola il perimetro e l’area del triangolo $DBC$.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $ circonferenza = 226,08\;\text{cm}$;
- $\overline{AD}= 43,2\;\text{cm}$;
utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il perimetro ($P_{DBC}$) e l’area ($A_{DBC}$) del triangolo $DBC$.
Conoscendo la circonferenza possiamo calcolare il raggio utilizzando la formula inversa:
$circonferenza=2\;\cdotp\;\pi\;\cdotp\;r\;\Rightarrow\;r=\dfrac{circonferenza}{2\;\pi}$;
$r=\dfrac{226,08\;\text{cm}}{2\;\pi} = 36\,\text{cm}$.
dove per $r$ si intende il raggio del cerchio, cioè:
$r=\overline{AO}=\overline{OB}= 36\,\text{cm}$.
Ne consegue che il diametro (uguale al doppio del raggio) sarà:
$\overline{AB}=2\;\cdotp\;\overline{AO}=2\,\cdotp\;36\;\text{cm}=72\;\text{cm}$.
Possiamo notare che il triangolo $ABD$ è rettangolo ($\hat{D}=90^{\circ}$) poichè inscritto in una semicirconferenza.
Applicando il primo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa) al triangolo rettangolo $ABD$ possiamo calcolare la proiezione $\overline{AE}$:
$\overline{AB}:\overline{AD}=\overline{AD}:\overline{AE}$;
$\overline{AB}\;\cdotp\;\overline{AE}=\overline{AD}^{2}$;
$\overline{AE}=\dfrac{\overline{AD}^2}{\overline{AB}}$;
$\overline{AE}=\dfrac{\left(43,2\;\text{cm}\right)^2}{72\;\text{cm}} = \dfrac{1866,24\;\text{cm}^2}{72\;\text{cm}}=25,92\;\text{cm}$.
Poichè $\overline{CD}$ è parallela ad $\overline{AB}$, il quadrilatero $ABCD$ è un trapezio isoscele, quindi:
$\overline{BK}=\overline{AE}=25,92\;\text{cm}$;
$\overline{BC}=\overline{AD}=43,2\;\text{cm}$;
$\overline{CD}=\overline{AB}-\overline{AE}-\overline{BK}=72\;\text{cm}-25,92\;\text{cm}-25,92\;\text{cm}=20,16\;\text{cm}$.
Per poter calcolare il perimetro del triangolo $DBC$ l’unico valore che manca è il lato $\overline{BD}$. Tale lato possiamo calcolarlo applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo $ABD$:
$\overline{BD} = \sqrt{\overline{AB}^{2} \; \text{-} \; \overline{AD}^{2}}$;
$\overline{BD} =\sqrt{\left(72^{2} \; \text{-} \; 43,2^{2}\right)\;\text{cm}^2}$;
$\overline{BD} = \sqrt{\left(5184 \;\text{-} \; 1866,24\right)\;\text{cm}^2} =\sqrt{3317,76}\;\text{cm}^2=57,6\;\text{cm}$.
L’area del triangolo $DBC$ può essere calcolata come la differenza tra l’area del trapezio $ABCD$ e larea del triangolo $ABD$. Per poter calcolare queste due aree occorre calcolare $\overline{DE}$, che è l’altezza sia del trapezio che del triangolo $ABD$. Applicando il secondo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa) al triangolo rettangolo $ABD$ possiamo calcolare l’altezza $\overline{DE}$:
$\overline{AE} : \overline{DE} = \overline{DE} : \overline{BE}$;
$\overline{DE}^{2} = \overline{AE}\;\cdotp\overline{BE}$;
$\overline{DE} = \sqrt{\overline{AE}\;\cdotp\;\overline{BE}}$;
$\overline{DE} = \sqrt{25,92\;\text{cm}\;\cdotp\;46,08\;\text{cm}}$;
$\overline{DE} = \sqrt{1194,3936\;\text{cm}^2} = 34,56\;\text{cm}$.
Adesso abbiamo tutti i dati necessari per calcolare il perimetro e l’area del triangolo $DBC$. Cominciamo con il calcolare il perimetro:
$P_{DBC} = \overline{BD}+\overline{BC}+\overline{CD} = \left(57,6+43,2+20,16\right)\;\text{cm}= 120,96\;\text{cm}$;
Calcoliamo l’area del trapezio $ABCD$:
$A_{ABCD}=\dfrac{\left(\overline{AB}+\overline{CD}\right)\;\cdotp\;\overline{DE}}{2}$;
$A_{ABCD}=\dfrac{\left(72\;\text{cm}+20,16\;\text{cm}\right)\;\cdotp\;34,56\;\text{cm}}{2}$;
$A_{ABCD}=\dfrac{\left(92,16\;\text{cm}\right)\;\cdotp\;34,56\;\text{cm}}{2}=1592,5248\;\text{cm}^2$.
Calcoliamo l’area del triangolo $ABD$:
$A_{ABD} = \dfrac{\overline{AB}\;\cdotp\;\overline{DE}}{2} = \dfrac{72\;\text{cm}\;\cdotp\;34,56\;\text{cm}}{2} = 1244,16\;\text{cm}^{2}$.
A questo punto possiamo calcolare l’area del triangolo DBC:
$A_{DBC} = A_{ABCD} – A_{ABD} = 1592,5248\;\text{cm}^{2} – 1244,16\;\text{cm}^{2}=348,3648\;\text{cm}^2$.