DOMANDA di Marco
Determina la misura del perimetro e l’area di un rettangolo $ABCD$ sapendo che la sua diagonale è lunga $16\;\text{cm}$ e forma un angolo di $30^{\circ}$.
RISPOSTA:
Scriviamo i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- diagonale: $\overline{AC}=16\;\text{cm}$;
- $C\hat{A}B=30^{\circ}$;
Utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il perimetro $P_{ABCD}$ e l’area $A_{ABCD}$ del rettangolo.
Osserviamo che il triangolo $ABC$ è rettangolo, l’angolo $C\hat{A}B=30^{\circ}$, siccome la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, l’angolo $B\hat{C}A$ è:
$B\hat{C}A=180^{\circ}-C\hat{B}A-C\hat{A}B=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$
Segue che il triangolo $ABC$ rientra nella categoria dei triangoli notevoli con angoli acuti di 30° e 60°, per i quali il cateto $\overline{BC}$ opposto all’angolo acuto di 30° è metà dell’ipotenusa $\overline{AC}$, per cui:
$\overline{BC}=\dfrac{\overline{AC}}{2}=\dfrac{16\;\text{cm}}{2}=8\;\text{cm}$
l’altro cateto $\overline{AB}$ è invece:
$\overline{AB}=\dfrac{\sqrt{3}\cdot\overline{AC}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}\cdot{16\;\text{cm}}}{2}=13.856\;\text{cm}$.
A questo punto possiamo calcolarci il perimetro e l’area del rettangolo:
$P_{ABCD}=2\;\cdot\;\overline{AB}+2\;\cdotp\;\overline{BC}=2\;\cdot\;13.856\;\text{cm}+2\;\cdotp\;8\;\text{cm}=43,712\;\text{cm}$;
$A_{ABCD}=\overline{AB}\;\cdot\;\overline{BC}=\left(13.856\;\cdot\;8\right)\;\text{cm}^2=110,848\;\text{cm}^{2}$