DOMANDA di Massimo
Un rettangolo con vertici: a,b,c,d ha la base di 16 cm e l’altezza di 12cm. Calcolare la diagonale ac e l’altezza relativa al vertice d perpendicolare alla diagonale ac.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $\overline{AB} = \overline{CD}= $ 16 cm;
- $\overline{BC} = \overline{AD}= $ 12 cm;
utilizzando questi dati dobbiamo calcolare la diagonale $\overline{AC}$ e l’altezza relativa al vertice $D$ perpendicolare alla diagonale $\overline{AC}$, ossia il segmento $\overline{DH}$.
Dato che il triangolo $ADC$ è rettangolo in $\hat{D}$, applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) , possiamo calcolare la diagonale $\overline{AC}$:
$\overline{AC} = \sqrt{\overline{AD}^2 + \overline{CD}^2} = $
$=\sqrt{\left(12^2 + 16^2\right)\text{ cm}^2} = $
$=\sqrt{144 + 256 \text{ cm}^2} = 20 \text{ cm}$.
Per trovare l’altezza relativa al vertice $D$ perpendicolare alla diagonale $\overline{AC}$, corrispondente al segmento $\overline{DH}$ in figura, si può prima calcolare l’area del triangolo $ADC$, come metà dell’area del rettangolo $ABCD$ e poi usare le formule inverse del triangolo.
L’area del rettangolo $ABCD$ è
$A_{ABCD} = \overline{AB} \cdot \overline{BC} = 16 \cdot 12 \text{ cm}^{2} = 192 \text{ cm}^{2}$
L’area del triangolo $ADC$ è metà dell’area del rettangolo, in quanto la diagonale $\overline{AC}$ divide il rettangolo in due parti uguali, per cui:
$A_{ADC} = \dfrac{A_{ABCD}}{2} = \dfrac{192 \text{ cm}^{2}}{2} = 96 \text{ cm}^{2}$
L’altezza relativa al vertice $D$ perpendicolare alla diagonale $\overline{AC}$ corrispondente al segmento $\overline{DH}$ in figura, per le formule inverse del triangolo è:
$\overline{DH} = \dfrac{2 \cdot A_{ADC}}{\overline{AC}} = \dfrac{2 \cdot 96 \text{ cm}^{2}}{20 \text{ cm}} = 9,6 \;\text{cm}$.