DOMANDA di Marco
Un triangolo isoscele è circoscritto ad una semicirconferenza. L’altezza del triangolo è 60 cm, il raggio della semicirconferenza è 36cm. Calcola l’area della superficie totale e il volume del prisma retto la cui base è il triangolo dato e la cui altezza misura come il lato del triangolo.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- $\overline{HQ} = 36\;\text{cm}$ essendo il raggio della semicirconferenza;
- $H\hat{Q}C = 90^{\circ}$ essendo il punto in cui semicirconferenza e triangolo sono tangenti;
- altezza del triangolo isoscele $ABC$: $\overline{CH} = 60\;\text{cm}$;
- altezza del prisma $\overline{AD} = \overline{AC}$;
$\overline{CQ} = \sqrt{\overline{CH}^{2} \; \text{-} \; \overline{HQ}^{2}}$;
$\overline{CQ} =\sqrt{\left(60^{2} \; \text{-} \; 36^{2}\right)\;\text{cm}^2}$;
$\overline{CQ} = \sqrt{\left(3600 \;\text{-} \; 1296\right)\;\text{cm}^2} =\sqrt{2304\;\text{cm}^2} = 48 \;\text{cm}$;
$\overline{CQ} = 48 \;\text{cm}$;
Sapendo il valore di $\overline{HQ}$ e di $\overline{CQ}$ possiamo calcolare il valore di $\overline{AQ}$ applicando il secondo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa) al triangolo rettangolo $AHC$. Nel nostro caso l’altezza relativa all’ipotenusa è $\overline{HQ}$, mentre le proiezioni dei due cateti sono $\overline{CQ}$ ed $\overline{AQ}$, quindi possiamo scrivere:
$ \overline{CQ} : \overline{HQ} = \overline{HQ} : \overline{AQ}$ $\Rightarrow$ $\overline{HQ}^{2} = \overline{CQ} \cdotp \overline{AQ}$
Segue che:
$\overline{AQ} = \dfrac{\overline{HQ}^{2}}{\overline{CQ}} = \dfrac{36^{2}\;\text{cm}^2}{48\;\text{cm}} = \dfrac{1296\;\text{cm}^2}{48\;\text{cm}^2} = 27\;\text{cm}$
Di conseguenza:
$\overline{AC} = \overline{CQ} + \overline{AQ} = 48 + 27\; \text{cm} = 75\;\text{cm}$
Essendo il triangolo $ABC$ isoscele:
$\overline{CB} = \overline{AC} = 75 \;\text{cm}$.
Sapendo il valore di $\overline{CH}$ e di $\overline{AC}$ possiamo calcolare il valore di $\overline{AH}$ applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo $AHC$ :
$\overline{AH} = \sqrt{\overline{AC}^{2} \; \text{-} \; \overline{CH}^{2}}$;
$\overline{AH} =\sqrt{\left(75^{2} \; \text{-} \; 60^{2}\right)\;\text{cm}^2}$;
$\overline{AH} = \sqrt{\left(5625 \;\text{-} \; 3600\right)\;\text{cm}^2} =\sqrt{2025\;\text{cm}^2} = 45 \;\text{cm}$;
$\overline{AH} = 45 \;\text{cm}$;
Essendo il triangolo $ABC$ isoscele:
$\overline{HB} = \overline{AH} = 45 \;\text{cm}$;
segue che:
$\overline{AB} = \overline{HB} + \overline{AH} = 90\;\text{cm}$;
Il perimetro del triangolo $ABC$
$P_{ABC} = \overline{AB} + \overline{BC} +\overline{AC} = \left(90 + 75 + 75\right)\;\text{cm} = 240\;\text{cm}$.
Calcolo l’area del triangolo $ABC$:
$A_{ABC} = \dfrac{\overline{AB}\;\cdotp\;\overline{CH}}{2} = \dfrac{90\;\cdotp\;60}{2}\;\text{cm}^{2} = 2700\;\text{cm}^{2}$.
L’area del triangolo $DEF$ è uguale a quella del trinagolo $ABC$ perchè i due triangoli sono uguali per costruzione:
$A_{DEF} = A_{ABC} = 2700\;\text{cm}^{2}$.
Per calcolare l’area della superficie laterale bisogna moltiplicare il perimetro del triangolo $ABC$ per l’altezza del prisma, quest’ultima uguale al lato del triangolo $ABC$ per il dato 4 del problema:
$A_{laterale} = P_{ABC}\;\cdotp\;\overline{AD} = \left(240\;\cdotp\;75\right)\;\text{cm}^{2} = 18000\;\text{cm}^{2}$
Adesso possiamo calcolare l’area totale del prisma che è uguale all’area laterale + l’area del triangolo $ABC$ e l’area del triangolo $DEF$:
$A_{tot} = A_{laterale} + A_{ABC} + A_{DEF} = \left(18000 + 2700 + 2700\right)\;\text{cm}^{2} = 23400\;\text{cm}^{2}$
Il volume del prisma è:
$V = A_{ABC} \cdot \overline{AD} = 2700\;\text{cm}^{2} \cdot 75\;\text{cm} = 202500\;\text{cm}^{3}$