DOMANDA di Max
Un esagono regolare e’ inscritto in una circonferenza di 56,52 cm. Calcola l’area del segmento circolare, compreso tra il lato dell’esagono e l’arco che sottende tale lato.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura di seguito riportata.
- $circonferenza = 56.52\text{ cm}$;
- $\overline{AB} = \overline{OA} = \overline{OB} = r$ con $r$ raggio della circonferenza essendo l’esagono regolare.
Cominciamo col calcolare la lunghezza del raggio, ricordando che la formula per calcolare la circonferenza è la seguente:
$circonferenza = 2\;\cdotp\;\pi\;\cdotp\;r$
dove $r$ è il raggio del cerchio. Utilizzando la formula inversa possiamo calcolare $r$:
$r = \dfrac{circonferenza}{2\;\cdotp\;\pi}=\dfrac{56.52\text{ cm}}{2\;\cdotp\;3.14}=9\text{ cm}$;
quindi:
$\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{AB}=r=9\text{ cm}$.
Essendo l’esagono regolare il triangolo AOB è equilatero e la sua altezza $\overline{OH}$ corrispondente all’apotema dell’esagono regolare è:
$\overline{OH} = \dfrac{r\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{OB\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{9\text{ cm}\cdot\sqrt{3}}{2}$
Segue che l’area del triangolo AOB è:
$A_{AOB} = \dfrac{\overline{AB}\cdot\overline{OH}}{2} = \dfrac{9\text{ cm}\cdot\dfrac{9\text{ cm}\cdot\sqrt{3}}{2}}{2} = \dfrac{81\cdot\sqrt{3}\text{ cm}^{2}}{4}$
L’area del settore circolare AOB è invece:
$A_{SettoreCircolareAOB} = \dfrac{1}{2}\cdot r^{2}\cdot\alpha = \dfrac{1}{2}\cdot 9^{2}\text{ cm}^{2}\cdot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{27}{2}\pi\text{ cm}^{2}$
L’area del segmento circolare si può calcolare come differenza tra l’area del segmento circolare e quella del triangolo, ossia:
$A_{SegmentoCircolare} = A_{SettoreCircolareAOB} {}- A_{AOB} = \dfrac{27}{2}\pi\text{ cm}^{2} {}- \dfrac{81\cdot \sqrt{3}\text{ cm}^{2}}{4}$