DOMANDA di Max
Due corde parallele di una stessa circonferenza, la cui lunghezza è 910.6cm, misurano rispettivamente 286 cm e 288 cm. Calcola la loro distanza: a. se sono dalla stessa parte rispetto al centro; b. se sono da parti opposte rispetto al centro.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura di seguito riportata.
- $circonferenza = 910.6\text{ cm}$;
- lunghezza della corda $\overline{AB} = 286\text{ cm}$;
- lunghezza della corda $\overline{DC} = \overline{EF} = 288\text{ cm}$.
Cominciamo col calcolare la lunghezza del raggio, ricordando che la formula per calcolare la circonferenza è la seguente:
$circonferenza = 2\;\cdotp\;\pi\;\cdotp\;r$
dove $r$ è il raggio del cerchio. Utilizzando la formula inversa possiamo calcolare $r$:
$r = \dfrac{circonferenza}{2\;\cdotp\;\pi} = \dfrac{910.6 \text{ cm}}{2\;\cdotp\;3,14} = 145 \text{ cm}$.
$r = \overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} = \overline{OD} = \overline{OE} = \overline{OF} = 145 \text{ cm}$.
Essendo i triangoli $AOB$, $DOC$ e $EOF$ isosceli per costruzione, le rispettive altezze $\overline{OH}$, $\overline{OS}$ ed $\overline{OP}$ dividono le basi, ossia le corde $\overline{AB}$, $\overline{DC}$ ed $\overline{EF}$ in due parti uguali, pertanto:
$\overline{BH} = \dfrac{\overline{AB}}{2} =\dfrac{286\text{ cm}}{2} = 143\text{ cm}$;
$\overline{SC} = \dfrac{\overline{DC}}{2} =\dfrac{288\text{ cm}}{2} = 144\text{ cm}$;
$\overline{PF} = \dfrac{\overline{EF}}{2} =\dfrac{288\text{ cm}}{2} = 144\text{ cm}$.
Applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo $BHO$ possiamo calcolare il segmento $\overline{OH}$:
$\overline{OH} = \sqrt{\overline{OB}^{2}\;\text{-}\;\overline{BH}^{2}}$;
$\overline{OH} =\sqrt{\left(145^{2}\;\text{-}\;143^{2}\right)\;\text{cm}^2}$;
$\overline{OH} = \sqrt{\left(21025\;\text{-}\;20449\right)\;\text{cm}^2} =\sqrt{576\;\text{cm}^2} = 24\;\text{cm}$;
$\overline{OH} = 24\;\text{cm}$.
Adesso applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $CSO$ per calcolare il segmento $\overline{OS}$:
$\overline{OS} = \sqrt{\overline{OC}^{2}\;\text{-}\;\overline{SC}^{2}}$;
$\overline{OS} =\sqrt{\left(145^{2}\;\text{-}\;144^{2}\right)\;\text{cm}^2}$;
$\overline{OS} = \sqrt{\left(21025\;\text{-}\;20736\right)\;\text{cm}^2} =\sqrt{289\;\text{cm}^2} = 17\;\text{cm}$;
$\overline{OS} = 17\;\text{cm}$.
Poiché due corde di uguale lunghezza hanno la stessa distanza dal centro, possiamo scrivere che:
$\overline{OP}=\overline{OS}=17\;\text{cm}$.
Conoscendo la distanza dal centro delle 3 corde in figura, possiamo facilmente calcolare la distanza tra la corda $\overline{AB}$ e la corda $\overline{DC}$ (come richiesto dal punto (a) del problema) e la distanza tra la corda $\overline{AB}$ e la corda $\overline{EF}$ (come richiesto dal punto (b) del problema).
Il segmento $\overline{HS}$ misura la distanza tra $\overline{AB}$ e $\overline{DC}$:
$\overline{HS} = \overline{OH}- \overline{OS} = \left(24 – 17\right)\;\text{cm} = 7\;\text{cm}$.
Il segmento $\overline{HP}$ misura la distanza tra $\overline{AB}$ e $\overline{EF}$:
$\overline{HP} = \overline{OH}+ \overline{OP} = \left(24 + 17\right)\;\text{cm} = 41\;\text{cm}$.