DOMANDA di Barbara
In un cerchio di centro O una corda AC è lunga $30\;\text{cm}$ e la sua proiezione AH sul diametro AB è di $18\;\text{cm}$. Calcola il perimetro e l’area del triangolo CHO.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- corda $\overline{AC}=30\;\text{cm}$;
- $\overline{AH}=18\;\text{cm}$;
utilizzando questi dati dobbiamo calcolare l’area ($A_{CHO}$) ed il perimetro ($P_{CHO}$) del triangolo $CHO$.
Possiamo subito notare che il triangolo $ABC$ è rettangolo ($\hat{C}=90^{\circ}$) poichè inscritto in una semicirconferenza.
Applicando il primo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa) al triangolo rettangolo $ABC$ possiamo calcolare il diametro $\overline{AB}$:
$\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{AC}:\overline{AH}$;
$\overline{AB}\;\cdotp\;\overline{AH}=\overline{AC}^{2}$;
$\overline{AB}\;\cdotp\;18\;\text{cm}=\left(30\;\text{cm}\right)^{2}$;
$\overline{AB} = \dfrac{900\;\text{cm}^2}{18\;\text{cm}}=50\;\text{cm}$.
Conoscendo il diametro della circonferenza possiamo facilmente calcolare il raggio:
$\overline{AO}=\overline{BO}=\overline{CO}=\dfrac{\overline{AB}}{2}=\overline{50\;\text{cm}}{2}=25\;\text{cm}$.
Ne consegue che:
$\overline{HO} = \overline{AO}-\overline{AH} = 25\;\text{cm}-18\;\text{cm}=7\;\text{cm}$;
$\overline{BH} = \overline{AB}-\overline{AH} = 50\;\text{cm}-18\;\text{cm}=32\;\text{cm}$.
Calcoliamo l’altezza $\overline{CH}$ applicando il secondo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa) al triangolo rettangolo $ABC$:
$\overline{AH} : \overline{CH} = \overline{CH} : \overline{BH}$;
$\overline{CH}^{2} = \overline{AH}\;\cdotp\overline{BH}$;
$\overline{CH} = \sqrt{\overline{AH}\;\cdotp\;\overline{BH}}$;
$\overline{CH} = \sqrt{18\;\text{cm}\;\cdotp\;32\;\text{cm}}$;
$\overline{CH} = \sqrt{576\;\text{cm}^2} = 24\;\text{cm}$;
Adesso abbiamo tutti i dati necessari per calcolare il perimetro e l’area del triangolo $CHO$:
$P_{CHO} = \overline{HO}+\overline{CH}+\overline{CO} = \left(7+24+25\right)\;\text{cm} = 56\;\text{cm}$;
$A_{CHO} = \dfrac{\overline{HO}\;\cdotp\;\overline{CH}}{2} = \dfrac{7\;\text{cm}\;\cdotp\;24\;\text{cm}}{2} = 84\;\text{cm}^{2}$.