DOMANDA di Barbara
Un cerchio di centro O ha l’area di $34618,50\;\text{cm}^2$. Conduci la corda $\overline{AB}$ lunga $168\;\text{cm}$ e la perpendicolare $\overline{BH}$ al diametro $\overline{AC}$. Calcola il perimetro e l’area del triangolo OHB.
RISPOSTA:
Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:
- Area cerchio $A_{cerchio}=34618,50\;\text{cm}^2$;
- Corda $\overline{AB}=168\;\text{cm}$;
utilizzando questi dati dobbiamo calcolare l’area ($A_{BHO}$) ed il perimetro ($P_{BHO}$) del triangolo rettangolo $BHO$.
Conoscendo l’area del cerchio possiamo facilmente calcolare il suo raggio utilizzando la formula inversa:
$A_{cerchio}=\pi\;\cdotp\;r^2\;\Rightarrow\;r=\sqrt{\dfrac{A_{cerchio}}{\pi}}$;
$r=\sqrt{\dfrac{34618,50\;\text{cm}^2}{\pi}}=\sqrt{11025\;\text{cm}^2}=105\,\text{cm}$.
dove per $r$ si intende il raggio del cerchio, cioè:
$r=\overline{AO}=\overline{OB}=\overline{OC}=105\,\text{cm}$.
Ne consegue che il diametro (uguale al doppio del raggio) sarà:
$\overline{AC}=2\;\cdotp\;\overline{AO}=2\,\cdotp\;105\;\text{cm}=210\;\text{cm}$.
Possiamo notare che il triangolo $ABC$ è rettangolo ($\hat{B}=90^{\circ}$) poichè inscritto in una semicirconferenza.
Applicando il primo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa) al triangolo rettangolo $ABC$ possiamo calcolare la proiezione $\overline{AH}$:
$\overline{AC}:\overline{AB}=\overline{AB}:\overline{AH}$;
$\overline{AC}\;\cdotp\;\overline{AH}=\overline{AB}^{2}$;
$\overline{AH}=\dfrac{\overline{AB}^2}{\overline{AC}}$;
$\overline{AH} = \dfrac{\left(168\;\text{cm}\right)^2}{210\;\text{cm}}$;
$\overline{AH} = \dfrac{28224\;\text{cm}^2}{210\;\text{cm}}=134,4\;\text{cm}$.
Ne consegue che:
$\overline{OH} = \overline{AH}-\overline{AO} = 134,4\;\text{cm}-105\;\text{cm}=29,4\;\text{cm}$;
$\overline{CH} = \overline{AC}-\overline{AH} = 210\;\text{cm}-134,4\;\text{cm}=75,6\;\text{cm}$.
Calcoliamo l’altezza $\overline{BH}$ applicando il secondo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa) al triangolo rettangolo $ABC$:
$\overline{AH} : \overline{BH} = \overline{BH} : \overline{CH}$;
$\overline{BH}^{2} = \overline{AH}\;\cdotp\overline{CH}$;
$\overline{BH} = \sqrt{\overline{AH}\;\cdotp\;\overline{CH}}$;
$\overline{BH} = \sqrt{134,4\;\text{cm}\;\cdotp\;75,6\;\text{cm}}$;
$\overline{BH} = \sqrt{10160,64\;\text{cm}^2} = 100,8\;\text{cm}$.
Adesso abbiamo tutti i dati necessari per calcolare il perimetro e l’area del triangolo $CHO$:
$P_{CHO} = \overline{OH}+\overline{OB}+\overline{BH} = \left(29,4+105+100,8\right)\;\text{cm} = 235,2\;\text{cm}$;
$A_{CHO} = \dfrac{\overline{OH}\;\cdotp\;\overline{BH}}{2} = \dfrac{29,4\;\text{cm}\;\cdotp\;100,8\;\text{cm}}{2} = 1481,76\;\text{cm}^{2}$.