DOMANDA di Marco
Dimostrare che due fasori discreti $e^{j\frac{2\pi}{N}kn}$ e $e^{j\frac{2\pi}{N}km}$ sono ortogonali se $n \neq m$
RISPOSTA:
Cominciamo con l’osservare che la condizione di ortogonalità la si può esprimere in termini di prodotto scalare, ossia:
$<e^{j\frac{2\pi}{N}kn},e^{j\frac{2\pi}{N}km}> = 0$ $\forall n \neq m$
i due fasori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo.
Per dimostrare questo risultato, esplicitiamo dapprima il prodotto scalare:
$<e^{j\frac{2\pi}{N}kn},e^{j\frac{2\pi}{N}km}> = \sum_{k=0}^{N-1}e^{j\frac{2\pi}{N}(m-n)k} =$
$= 1 + e^{j\frac{2\pi}{N}(m-n) \cdot 1} + e^{j\frac{2\pi}{N}(m-n) \cdot 2} + \ldots + e^{j\frac{2\pi}{N}(m-n) \cdot (N-1)} =$
$= \dfrac{e^{j\frac{2\pi}{N}(m-n)k} {}- 1}{e^{j\frac{2\pi}{N}(m-n)} {}- 1}$
dove l’ultima uguaglianza la si ottiene dalla serie geometrica:
$1 + r + r^{2} + \ldots + r^{N-1} = \dfrac{r^{N} {}- 1}{r {}- 1}$
avendo posto:
$r = e^{j\frac{2\pi}{N}(m-n)}$
e
$e^{j2\pi(m-n)} = 1$
A questo punto è chiaro che quando $n \neq m$ se al numeratore semplifico ho $1 {}- 1$, ossia:
$<e^{j\frac{2\pi}{N}kn},e^{j\frac{2\pi}{N}km}> = \dfrac{e^{j2\pi(m-n)} {}- 1}{e^{j\frac{2\pi}{N}(m-n)} {}- 1} = \dfrac{1 {}- 1}{e^{j\frac{2\pi}{N}(m-n)} {}- 1} = 0$
che è quello che volevamo dimostrare. Nel caso in cui $n = m$, se considero il rapporto si avrebbe una forma indeterminata $\dfrac{0}{0}$, ma la soluzione la si può ottenere semplicemente considerando la sommatoria del prodotto scalare in quanto $m {}- n = 0$ e quindi:
$<e^{j\frac{2\pi}{N}kn},e^{j\frac{2\pi}{N}km}> = \sum_{k=0}^{N-1}e^{j\frac{2\pi}{N}(m-n)k} = \sum_{k=0}^{N-1}1 = N$