Problema di Geometria – Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza

DOMANDA di Max

Un triangolo equilatero è inscritto in una circonferenza lunga 314 dm. Calcola l’apotema, l’altezza e il lato del triangolo.

RISPOSTA:

Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:


  1. $\text{circonferenza} = 314\;\text{dm}$;

Il raggio del cerchio è strettamente collegato alla misura della circonferenza dalla seguente relazione:

$\text{circonferenza} = 2\;\cdotp \pi \; \cdotp r$.

dove $r$ è il raggio e $\pi$ è una costante il cui valore approssimato è $3,14$. Nel nostro caso, poiché conosciamo il valore della circonferenza, possiamo ricavarci il valore del raggio:

$r = \dfrac{\text{circonferenza}}{2\;\cdotp \pi} = \dfrac{314\;\text{dm}}{2\;\cdotp 3,14} = 50\;\text{dm}$.

Per costruzione,il segmento che unisce  il centro del cerchio con un vertice del triangolo equilatero inscritto è uguale al raggio, quindi:

$ \overline{AO} = \overline{BO} =\overline{CO} = r = 50\;\text{dm}$

Congiungendo il centro del cerchio con i vertici del triangolo equilatero ottengo tre triangoli isosceli ($AOB, BOC, AOC$) con un angolo al vertice di $120^{\circ}$.

Consideriamo il triangolo isoscele $AOB$ e tracciamo l’altezza $\overline{OH}$, che è anche bisettrice e mediana, e quindi divide l’angolo $A\hat{O}B$ in due angoli uguali di $60^{\circ}$. Ne consegue che il triangolo rettangolo $AOH$ ha i due angoli acuti di $30^{\circ}$ e $60^{\circ}$, e quindi è un triangolo rettangolo particolare per cui valgono le seguenti relazioni:

$\overline{OH} = \dfrac{\overline{AO}}{2} = \dfrac{50\;\text{dm}}{2} = 25\;\text{dm}$;

$\overline{AH} = \dfrac{\overline{AO}\;\cdotp\;\sqrt{3}}{2} = \dfrac{50\;\text{dm}\;\cdotp\;\sqrt{3}}{2}= 43,3\;\text{dm}$.

Nei poligoni regolari (come ad esempio il triangolo equilatero) l’apotema è il raggio della circonferenza inscritta e corrisponde alla distanza tra il centro della circonferenza e ciascuno dei lati del poligono. Nel nostro caso l’apotema corrisponde proprio al segmento $\overline{OH}$, quindi:

$\text{apotema} = OH = 25\;\text{dm}$.

L’altezza $\overline{CH}$ del triangolo equilatero è uguale al raggio $\overline{CO}$ più l’apotema $\overline{OH}$:

$\overline{CH} = \overline{CO} +\overline{OH} = \left(50 + 25\right)\;\text{dm} = 75\;\text{dm}$.

Infine, essendo $ABC$ un triangolo equilatero, il lato $\overline{AB}$ è uguale al doppio del segmento $\overline{AH}$:

$\overline{AB} = 2\;\cdotp \overline{AH} = 2\;\cdotp 43,3\;\text{dm} = 86,6\;\text{dm}$.

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