Problema di Geometria – Prisma con Trapezio Isoscele per base

DOMANDA di Gengo

Un prisma ha per base un trapezio isoscele avente l’ area di $57,12\;\text{cm}^2$ e la base maggiore e l’altezza che misurano rispettivamente $19,2\;\text{cm}$ e $4,2\;\text{cm}$; sapendo che l’area della superficie totale è $748,72\;\text{cm}^2$, calcola la misura dell’altezza del prisma.

RISPOSTA:

Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura di seguito riportata.

PrismaBaseTrapezioIsoscele

  1. $A_{ABCD}=57,12\;\text{cm}^2$;
  2. $A_{totale}=748,72\;\text{cm}^2$;
  3. $\overline{AB} = 19,2\;\text{cm}$;
  4. $\overline{DH} = 4,2\;\text{cm}$

Per calcolare l’altezza del prisma osserviamo che l’area totale è pari a:

$A_{totale}=2\;\cdot\;A_{ABCD} + A_{laterale}=2\;\cdot\;A_{ABCD} + P_{ABCD}\;\cdot\;\overline{h}$,

dove $P_{ABCD}$ è il perimetro della base e $h$ è l’altezza del prisma.

Dalla precedente equazione ricaviamo l’altezza:

$\overline{h}=\dfrac{A_{totale}-2\;\cdot\;A_{ABCD}}{P_{ABCD}}$

dove l’unica incognita è il perimetro del trapezio isoscele. Ci proponiamo, pertanto, di valutare la lunghezza della base minore $\overline{CD}$ e dei due lati obliqui $\overline{AD}$ e $\overline{BC}$.

La lunghezza della base minore possiamo calcolarla facilmente, dal momento che conosciamo l’area e l’altezza del trapezio. Infatti, nota l’area:

$A_{ABCD}=\dfrac{\left(\overline{AB}+\overline{CD}\right)\overline{DH}}{2}$,

ricaviamo la base minore in questo modo:

$\overline{CD}=\dfrac{2\:\cdot\;A_{ABCD}}{\overline{DH}} – AB = \dfrac{2\;\cdot\;57,12\;\text{cm}^2}{4,2\;\text{cm}} – 19,2\;\text{cm}=8\;\text{cm}$.

Per calcolare le lunghezze dei lati obliqui, valutiamo prima $\overline{AH}$:

$\overline{AH}=\dfrac{\overline{AB} – \overline{CD}}{2}=\dfrac{19,2\;\text{cm}-8\;\text{cm}}{2}=5,6\;\text{cm}$.

Applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo $AHD$ possiamo calcolare l’ipotenusa $\overline{AD}$:

$\overline{AD}=\overline{BC}=\sqrt{\overline{AH}^2\;\text{+}\;\overline{DH}^2}= \sqrt{(5,6\;\text{cm})^2\;\text{+}\;(4,2\;\text{cm})^2}=7\;\text{cm}$.

Possiamo ora calcolare il perimetro della base:

$P_{ABCD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{AD}=(19,2+7+8+7)\;\text{cm}=41,2\;\text{cm}$.

Infine, l’altezza del prisma sarà pari a:

$\overline{h}=\dfrac{A_{totale}-2\cdot A_{ABCD}}{P_{ABCD}}=\dfrac{748,72\;\text{cm}^2-(2\;\cdot\;57,12\;\text{cm}^2)}{41,2\;\text{cm}}=15,4\;\text{cm}$

 

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