Problema di Geometria - Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza

DOMANDA di Max

Un triangolo equilatero è inscritto in una circonferenza lunga 314 dm. Calcola l'apotema, l'altezza e il lato del triangolo.

RISPOSTA:

Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:


  1. \text{circonferenza} = 314\;\text{dm};

Il raggio del cerchio è strettamente collegato alla misura della circonferenza dalla seguente relazione:

\text{circonferenza} = 2\;\cdotp \pi \; \cdotp r.

dove r è il raggio e \pi è una costante il cui valore approssimato è 3,14. Nel nostro caso, poiché conosciamo il valore della circonferenza, possiamo ricavarci il valore del raggio:

r = \dfrac{\text{circonferenza}}{2\;\cdotp \pi} = \dfrac{314\;\text{dm}}{2\;\cdotp 3,14} = 50\;\text{dm}.

Per costruzione,il segmento che unisce  il centro del cerchio con un vertice del triangolo equilatero inscritto è uguale al raggio, quindi:

 \overline{AO} = \overline{BO} =\overline{CO} = r = 50\;\text{dm}

Congiungendo il centro del cerchio con i vertici del triangolo equilatero ottengo tre triangoli isosceli (AOB, BOC, AOC) con un angolo al vertice di 120^{\circ}.

Consideriamo il triangolo isoscele AOB e tracciamo l'altezza \overline{OH}, che è anche bisettrice e mediana, e quindi divide l'angolo A\hat{O}B in due angoli uguali di 60^{\circ}. Ne consegue che il triangolo rettangolo AOH ha i due angoli acuti di 30^{\circ} e 60^{\circ}, e quindi è un triangolo rettangolo particolare per cui valgono le seguenti relazioni:

\overline{OH} = \dfrac{\overline{AO}}{2} = \dfrac{50\;\text{dm}}{2} = 25\;\text{dm};

\overline{AH} = \dfrac{\overline{AO}\;\cdotp\;\sqrt{3}}{2} = \dfrac{50\;\text{dm}\;\cdotp\;\sqrt{3}}{2}= 43,3\;\text{dm}.

Nei poligoni regolari (come ad esempio il triangolo equilatero) l'apotema è il raggio della circonferenza inscritta e corrisponde alla distanza tra il centro della circonferenza e ciascuno dei lati del poligono. Nel nostro caso l'apotema corrisponde proprio al segmento \overline{OH}, quindi:

\text{apotema} = OH = 25\;\text{dm}.

L'altezza \overline{CH} del triangolo equilatero è uguale al raggio \overline{CO} più l'apotema \overline{OH}:

\overline{CH} = \overline{CO} +\overline{OH} = \left(50 + 25\right)\;\text{dm} = 75\;\text{dm}.

Infine, essendo ABC un triangolo equilatero, il lato \overline{AB} è uguale al doppio del segmento \overline{AH}:

\overline{AB} = 2\;\cdotp \overline{AH} = 2\;\cdotp 43,3\;\text{dm} = 86,6\;\text{dm}.

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