DOMANDA di Mirco
In un riferimento cartesiano disegna il quadrilatero abcd A(3.1), B(8.4), C(3.10), D(2.4). Calcola la sua area assumendo il centimetro come unità di misura.
RISPOSTA:
Trattandosi di una figura irregolare, un possibile modo per calcolare l’area è scomporre il quadrilatero in due triangoli, determinare l’area di ciascuno e infine sommare le due aree per ottenere l’area totale.
In particolare, tracciando la congiungente tra il punto $B$ e il punto $D$, possiamo scomporre il nostro quadrilatero in due triangoli:
- Il triangolo inferiore $DAB$;
- Il triangolo superiore $BCD$.
L’area del quadrilatero $ABCD$, che indichiamo con $A_{ABCD}$, sarà pari alla somma dell’area del triangolo $DAB$, che indichiamo con $A_{DAB}$, e quella del triangolo $BCD$, che indichiamo con $A_{BCD}$, cioè:
$A_{ABCD}=A_{DAB}+A_{BCD}$.
Per calcolare l’area dei due triangoli è necessario conoscere la base e l’altezza di ciascuno. A tale scopo, tracciamo la congiungente tra il punto $A$ e il punto $C$ e chiamiamo $H$ l’intersezione tra il segmento $AC$ e il segmento $BD$. E’ elementare verificare che tale punto ha coordinate $H(3,4)$.
Osserviamo poi che i punti $A$ e $C$ hanno la medisima ascissa (che è pari a 3) mentre i punti $B$ e $D$ hanno la stessa ordinata (che è uaguale a 4). Pertanto, il segmento $AC$ è parallelo all’asse delle ordinate mentre il segmento $BD$ è parallelo all’asse delle ascisse. Per questa ragione, $AC$ e $BD$ sono tra loro ortogonali, e quindi $AH$ può essere vista come l’altezza del triangolo $DAB$ avente base $BD$ mentre $CH$ può essere vista come l’altezza del triangolo $BCD$ avente ancora base $BD$.
Per determinare la lunghezza della base $BD$ è sufficiente calcolare la differenza tra le ascisse dei punti $B$ e $D$:
$\overline{BD}=(8-2)\;\text{cm}=6\;\text{cm}$.
Per le due altezze $\overline{AH}$ e $\overline{CH}$ basta invece valutare la differenza tra le ordinate:
$\overline{AH}=(4-1)\;\text{cm}=3\;\text{cm}$,
$\overline{CH}=(10-4)\;\text{cm}=6\;\text{cm}$.
Possiamo ora calcolare le aree dei due triangoli:
$A_{DAB}=\dfrac{\overline{BD}\cdot\overline{AH}}{2}=\dfrac{(6\;\text{cm}\cdot 3\;\text{cm})}{2}=\dfrac{18\;\text{cm}^2}{2}=9\;\text{cm}^2$.
$A_{DBC}=\dfrac{\overline{BD}\cdot\overline{CH}}{2}=\dfrac{(6\;\text{cm}\cdot 6\;\text{cm})}{2}=\dfrac{36\;\text{cm}^2}{2}=18\;\text{cm}^2$.
In definitiva, l’area del quadrilatero è pari a:
$A_{ABCD}=A_{DAB}+A_{DBC}=(9+18)\;\text{cm}^2=27\;\text{cm}^2$